叉积在ACM中的应用

定义

若 OA→=(x1,y1)  OB→=(x2,y2)
定义叉积： OA→×OB→=x1y2−x2y1

性质

1. S△OAB=12|OA→×OB→|
   
   如图是一种简单情况，叉积表示的面积即最大的矩形面积减去 P1P2T3 所构成的矩形面积。又 T4=S4 ，即要证

   2(T1+T2+T3)=S1+T1+S2+T2
   又已知 S1+P1=T1+T3+P2,and S2+P2=T2+T3+P1 两式左右相加即证。
   另外的情况也可利用面积的加减证明。

2. 已知直线上的两点s、e，可以求出ax+by+c=0的参数
   a = s.y-e.y;
   b = e.x-s.x;
   c = s × e;

应用

1. 判断点与直线的相对位置

在直线上取两点P，Q，构成直线的方向向量 PQ→ 。需要判断的点A构成 AP→、AQ→ 两个向量。则规定 AP→×AQ→ 的符号反映了点与直线的相对位置。当值为0时A在直线PQ上。

POJ 2318 2398

2. 判断线段与直线的位置关系

在直线外的两个点分别作应用1中的叉积操作，若得到的结果同号则在同侧，异号则在异侧。

POJ 3304：原题等价为是否存在一条直线（投影路径）与所有的线段相交
POJ 1039：求从管子的一端到最远到达哪里。暴力枚举所有可能的光线方向，与管子端点相交、与管重合均可穿过。需注意光线虽与管子不相交但超出管子的情况。

3. 判断直线与直线的位置关系

有以下两种方法。

1. 容易理解的是利用性质2，得到直线方程 a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0 。当 a1b2=a2b1时 ，直线平行（特判重合的情况）；否则两直线相交，直接解得 x=−c1b2+c2b1a1b2−a2b1
2. 分别在直线上取两点，类似于应用2，将其中一条作为基准直线，得到两个叉积结果。若都为0，则两直线重合。若两者不为0且值相等，则两直线平行。否则相交。
   用叉积，而不是求出斜率，这样能避免斜率不存在的情况。

POJ 1269：过滤掉前两种情况后，求直线的交点坐标时再列出直线方程(ax+by+c=0)求解。

4. 判断线段与线段的位置关系

线段1、2所在的直线为3、4，则当1、4与2、3均相交时可得两线段相交，否则不相交。也可以根据题目条件简化其一，视条件而定。
注意：要做四组初始判断避免两线段共线但不相交的误判。
也被称为跨接条件。即线段相交必须满足线段1的左端点在线段2的右端点的左边，其余三个方向同理。

POJ 1556：枚举任意两个端点是否存在直线通道时，需判断该线段与其余的竖直线段是否相交。
POJ 2653：该break时就break，否则T无休……
POJ 3449：差不多可以当作模拟题来做。
CF 589D：可以抽象成线段来做。

5.判断多边形是否是凸包

顺次给出多边形的点 {pi} 判断其是否构成凸包。由于不知道是顺时针还是逆时针给出的，所以先记录一组 (p1−p0)×(p2−p1) 的符号作为基准。之后每组 (pi+1−pi)×(pn+2−pn+1) 的符号都与之比对，若异号，则不为凸包。
注意：若题意允许三点共线，则先找到第一个非0的符号，再进行判断。并且允许有0存在。

6.判断点是否在凸多边形内

1. 先特判点O是否在边上（可利用叉积为零）。
2. 将点O作为顶点，顺次连接多边形的端点，得到n个角度。用叉积顺次得到各个角度的符号，若全部同号则点在凸多边形内。否则不在凸多边形内。

POJ 1584：先判断给出的点是否构成凸包，再判断圆心是否在凸包内，再看是否能容纳下这个圆。