后缀表达式的相关知识

一、概念

    前缀表达式 (Prefix Notation) 也称“波兰表达式”，是为了纪念了纪念其发明者波兰数学家 Jan Lukasiewicz 而命名的。前缀表达式的特点是运算符写在前面，操作数写在后面，并且不需要括号仍能被无歧义地解析。

    后缀表达式 (Postfix Notation) 也称为“逆波兰表达式”，它的特点是操作数在前，运算符在后，并且也不需要括号。

    中缀表达式 (Infix Notation) 就是我们常用的表达式，即运算符放在操作数中间的算术表达式，会用到括号。

例子：

中缀表达式： 3+(4-2)*5

前缀表达式： +3*-425

后缀表达式： 342-5*+

二、转换

  

   平时前缀用得比较少，所以只写中缀表达式转为后缀表达式的规则。

 

1、使用栈来辅助转换

(1)建立一个栈，然后从左至右的遍历中缀表达式

(2) 如果碰到了操作数，则直接将其输出，如果碰到了操作符，这个时候则需要进行优先级的比较，如果栈为空或者栈顶的操作符的优先级比当前的低，则将当前的操作符 Push 入栈，如果栈顶操作符比当前的操作符的优先级高或者相同，则 POP 操作符并输出，直到出现前一种情况为止。(减法和加法有相同的优先级，乘法和除法有相同的优先级)

(3)如果操作数输出完毕而栈还有操作符，则依次POP操作符并输出。

    需要注意的是对于括号需要另外注意一下，如果是’(’，则直接入栈，如果是)则要找到对应的’(’为止，并且当两者同时出现时则同时删除。

例如 3+(4-2)*5 执行上面的步骤如下：

第一步： 操作数3输出

         OUTPUT: 3

         STACK : NULL

第二步： 运算法"+"入栈

         OUTPUT: 3

         STACK : +

第三步： 运算符"("入栈

         OUTPUT: 3

         STACK : + (

第四步： 操作数4输出

         OUTPUT: 3 4

         STACK : + (

第五步： 运算符"-"入栈

         OUTPUT: 3 4

         STACK : + (  -

第六步： 操作数2输出

         OUTPUT: 3 4 2

         STACK : + (  -

第七步： 遇到")"符号，"-"弹出并输出，"("弹出不输出

         OUTPUT: 3 4 2  -

         STACK : + 

第八步： 遇到"*"运算符，由于"*"比"+"优先级高，所以"*"入栈

         OUTPUT: 3 4 2  -

         STACK : + *

第九步： 操作数5输出

         OUTPUT: 3 4 2  - 5

         STACK : + *

第十步： 操作数已经输出完毕，栈还非空，因此栈中的运算符依次输出

         OUTPUT: 3 4 2  - 5 * +

         STACK : NULL

至此，中缀表达式  3+(4-2)*5  转换成了后缀表达式  342-5*+

2、根据运算的先后顺序人工转换

第一步：按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号~
        式子变成拉：(3+((4-2)*5))
第二步：转换前缀与后缀表达式
        前缀：把运算符号移动到对应的括号前面
              则变成拉：+(3*(-(42)5))
              把括号去掉：+3*-425  前缀式子出现
        后缀：把运算符号移动到对应的括号后面
              则变成拉：(3((42)-5)*)+
              把括号去掉：342-5*+  后缀式子出现

3、借助表达式树来转换

    上面介绍的两种方法一种是用来编程实现的，一种是用于人工快速转换的，已经满足平时的需要了。这里还介绍表达式树主要的目的是强调知识之间的联系。

    表达树是二叉树，表达树的叶子节点是操作数，比如常数或变量，而其他的节点为操作符。例如表达式 3+(4-2)*5的表达树为：

                                         

对该二叉树进行前序遍历可得：+3*- 425

对该二叉树进行中序遍历可得：3+(4-2)*5

对该二叉树进行后序遍历可得：342-5*+

       对比可知，对表达式树的前序遍历得到的是前缀表达式；对表达式树的中序遍历得到的是中缀表达式；对表达式树的后序遍历得到的是后缀表达式。因此可以根据表达式树而得到后缀表达式。也可以根据后缀表达式得到表达式树，方法如下：

       “我们一次一个符号地读入表达式。如果符号是操作数，那么我们就建立一个单节点树并将一个指向它的指针推入栈中。如果符号是操作符，那么我们就从栈中弹出指向两棵树T1和T2的那两个指针(T1的先弹出)并形成一颗新的树，该树的根就是操作符，它的左、右儿子分别指向T2和T1。然后将指向这棵新树的指针压入栈中。”(详见：数据结构与算法分析——C语言描述P71)

三、计算后缀表达式

    规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶的两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。这个过程跟上面一节将后缀表达式转换成表达式树基本一致。

例如计算后缀表达式 342-5*+ 的步骤如下：

第一步：3、4、2依次入栈

        STACK : 3 4 2

第二步：遇到"-"号所以2和4弹出计算4-2=2，将结果2入栈

        STACK : 3 2

第三步：5入栈

        STACK : 3 2 5

第四步：遇到"*"号所以2和5弹出计算5*2=10，将结果10入栈

        STACK : 3 10

第四步：遇到"+"号所以10和3弹出计算10+3=13，最终结果为13。

        STACK : NULL