POJ 3904 Sky Code 莫比乌斯反演 容斥原理

原题见POJ 3904

给n个数，求其中四个数的gcd是1的情况有多少种。

从反面考虑，算出gcd不是1的情况，总数取反即是结果。这是容斥原理的思想。当时在做POJ 1091的时候即是这样的想法。画一个vene图，每个集合表示最大公约数为k的情况数。

当k含有素数因子的平方项，如4，12，其实已经被2的情况数覆盖，不必再进行任何处理。只需考虑k是素数的一次方的乘积的情况。当素数个数为奇数个，如2，3，5，30，情况数是向上累加的；而当素数个数是6，10，15时，情况数应该被减去，因为被重复算进过。
其实和莫比乌斯反演里的系数的产生是一样的原理。

有了莫比乌斯反演的知识背景以后，可以这样想：

设 f(x) =四个数的gcd是x的情况数
F(x)=∑x∣df(d) ，即四个数的gcd是x的倍数的情况数
利用上一篇博客提到的莫比乌斯反演的第二种形式

现在要求 f(1)=∑x∣dμ(dx)F(d)|x=1=∑dμ(d)F(d) 其中d是1~10000的所有数。

附code

/*-------------------------------------------- * File Name: POJ 3904 * Author: Danliwoo * Mail: [email protected] * Created Time: 2015-10-06 12:36:28 --------------------------------------------*/

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 10001
#define LL long long
int mobi[N]={0,1}, num[N], prim[N], cnt = 0, a[N];
void set()
{
    for(int i = 0;i < N;i++) num[i] = 1;
    for(int i = 2;i < N;i++)
    {
        if(num[i])
        {
            prim[cnt++] = i;
            mobi[i] = -1;
        }
        for(int j = 0;j < cnt && prim[j]*i < N;j++)
        {
            num[prim[j]*i] = 0;
            if(i % prim[j] == 0)
            {
                mobi[prim[j]*i] = 0;
                break;
            }
            mobi[prim[j]*i] = -mobi[i];
        }
    }
}
void sep(int n)
{
    int s = sqrt(n);
    for(int i = 1;i <= s;i++) if(n % i == 0)
    {
        a[i]++;
        a[n/i]++;
    }
    if(s*s == n)
        a[s]--;
}
LL get(LL i)
{
    return i*(i-1)*(i-2)*(i-3)/24;
}
int main()
{
    set();
    int n, tp;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            scanf("%d", &tp);
            sep(tp);
        }
        LL ans = 0;
        for(LL i = 1;i < N;i++)
        {
            if(mobi[i] == 0 || a[i] < 4) continue;
            ans += get(a[i])*mobi[i];
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}