[BZOJ 1505][NOI 2004]小H的小屋(DP优化)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1505

思路

用 g[i][j] 表示南方向上， x 轴方向上长度为 i 的区间，划分成 j 个矩形的最小面积。 f[k][i][j] 表示 x 轴方向上长度为 k 的区间，北方向上放 i 个矩形，南方向上放 j 个矩形的最小面积。

可以得到下面的dp方程

g[i][j]=mini′<i{g[i′][j−1]+(i−i′)2K2}

f[k][i][j]=mink′<k,j′<j{f[k′][i−1][j′]+(k−k′)2K1+g[k−k′][j−j′]}

求 g[][] 的过程复杂度是 O(n3) ，可以接受，但求 f[][][] 的复杂度是 O(n5) ，太慢了。可以发现，假设 f[k][i][j] 是从 f[k1][i−1][j1] 递推而来， f[k][i−1][j] 是从 f[k2][i−2][j2] 递推而来，那么有 k1>k2,j1>j2 。

这是显然的，同样长度的区间，划分的话，一定是划分得尽量均匀，让每一段矩形的大小尽量接近。那么显然划分成 i 段，北面最后一段矩形的长度比划分成 i−1 段，北面最后一段矩形的长度短。

利用这个特点，每次DP枚举 k′,j′ 时，我们只需要从 k2,j2 开始枚举即可。这样复杂度就降到了 O(n3)

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 110
#define INF 1e200

using namespace std;

double f[MAXN][MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN];
double K1,K2;
int m,n;
int lastk[MAXN][MAXN][MAXN],lastj[MAXN][MAXN][MAXN]; //lastk[k][i][j]=k',lastj[k][i][j]=j'表示f[k][i][j]是从f[k'][i-1][j']转移来的

int main()
{
    scanf("%lf%lf%d%d",&K1,&K2,&m,&n);
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
        for(int j=0;j<MAXN;j++)
            g[i][j]=INF;
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
        for(int j=0;j<MAXN;j++)
            for(int k=0;k<MAXN;k++)
                f[i][j][k]=INF;
    g[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=100;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            for(int k=j-1;k<i;k++)
                g[i][j]=min(g[i][j],g[k][j-1]+(i-k)*(i-k)*K2);
    f[0][0][0]=0;
    for(int k=1;k<=100;k++)
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                for(int lk=lastk[k][i-1][j];lk<k;lk++)
                    for(int lj=lastj[k][i-1][j];lj<j;lj++)
                    {
                        if(f[lk][i-1][lj]+(k-lk)*(k-lk)*K1+g[k-lk][j-lj]<f[k][i][j])
                        {
                            f[k][i][j]=f[lk][i-1][lj]+(k-lk)*(k-lk)*K1+g[k-lk][j-lj];
                            lastk[k][i][j]=lk;
                            lastj[k][i][j]=lj;
                        }
                    }
            }
    printf("%.1lf\n",f[100][m][n]);
    return 0;
}