8VC Venture Cup 2016 -E - Simple Skewness- 二分+数学

http://codeforces.com/contest/626/problem/E

题意: 给你n个数,让你选一个非空子集,使得子集中所有数的平均数减去 中位数 这个值最大。


排序后,枚举每一个数位中位数,

对于第i个数作为中位数的情况,我们要使得平均数尽可能大,就是在i的左右对称选x个数,显然越大越好,左边选的是靠近i,右边选的是靠近n。 

如何在logn内选出这个X:  

如果x=1;也就是选 a[i-1] 和 a[n] 会使得平均数增大,那么当x=2时,显然 a[i-2] 与a[n-1]的和比上一对要小,但是如果他们仍大于2*当前平均数的话,仍然可以拉高平均数,每次拉高的量越来越少,由于是有序的,每次的

a[i-k]+a[n-k+1]的和都是逐渐变小,而平均数是渐渐变大的。

可以知道 随着x的增大,平均数的值应该是 先单调增加 后 单调减少。【也就是所谓bitonic 双调的】,本来应该用三分,但是由于都是整点,我们可以二分找到那个使得平均数最大的X即可 


二分的判断就是,判断avg(X)>avg(x-1) 即可

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std; 
__int64 mod=1000000000+7;   
__int64 min(__int64 a,__int64 b)
{return a<b?a:b;}
__int64 max(__int64 a,__int64 b)
{return a>b?a:b;}  
__int64 n,m;  
__int64 tm[200005];  
__int64 s[200005]; 
double eps=1e-8; 

__int64 fz,fm; 
__int64 bin(__int64 i,__int64 x)
{
	__int64 ll=s[i-1]-s[i-x-1];
	__int64 rr=s[n]-s[n-x];
	fz=ll+rr+tm[i];
	fm=2*x+1;  		
	__int64 last_fz=s[i-1]-s[i-1-(x-1)]+s[n]-s[n-(x-1)]+tm[i];
	__int64 last_fm=2*x-1;
	if (fz*last_fm-last_fz*fm>0)	return 1;		//避免double丢失精度
	else return 0; 
	
}
int main()
{ 
	__int64 i,j;
	
	scanf("%I64d",&n);
	for (i=1;i<=n;i++)
		scanf("%I64d",&tm[i]);
	sort(tm+1,tm+1+n);
	
	for (i=1;i<=n;i++)
		s[i]=s[i-1]+tm[i];
	__int64 ansfz,ansfm=0; 
	__int64 ans_i=0;
	__int64 ans_x=0;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		__int64 l=0;
		__int64 r=min(i-1,n-i);
		__int64 x; 
		while(l<=r)
		{
			if (r-l<=1)
			{
				if (bin(i,r))
					x=r;
				else
					x=l;  	 
				bin(i,x);//记得要更新fz,fm
				break;
			}
			__int64 mid=(l+r)>>1;
			if (bin(i,mid))
				l=mid;
			else
				r=mid-1; 
			
		} 
		fz-=fm*tm[i];
		if (ansfm==0||fz*ansfm-fm*ansfz>0 )
		{
			ansfz=fz;
			ansfm=fm;
			ans_i=i;
			ans_x=x;
		}
		
	}
	if (ans_i==0)
	{
		printf("1\n");
		printf("%I64d\n",tm[1]);
		return 0; 
	}
	printf("%I64d\n",ans_x*2+1);
	printf("%I64d",tm[ans_i]); 
	for (i=ans_i-1;i>=ans_i-ans_x;i--)
		printf(" %I64d",tm[i]);
	for (i=n;i>=n-ans_x+1;i--)
		printf(" %I64d",tm[i]); 
	printf("\n");
	return 0;
	
} 


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