动态规划 之 矩阵连乘问题

动态规划 之 矩阵连乘问题

完全加括号的矩阵连乘积

（1）单个矩阵是完全加括号的；

（2）矩阵连乘积是完全加括号的，则可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积和的乘积并加括号。 

例题：

       其中（A((BC)D)）为50*10*5+（10*40*30+10*30*5）=16000.（首先BC得到10*40*30，此时（BC）相当于一个新的10*30的E），（（BC）D）就相当于（ED）等于10*30*5；再将（ED）看成10*5的F；（A((BC)D)）就相当于AF，50*10*5；最后将计算结果相加得到16000.

      同样，（A(B(CD)）；先算CD=40*30*5=6000；得到40*5的E；再将(B(CD))计算，相当于BE=10*40*5=2000，得 到10*5的F；再将（A(B(CD)）计算，相当于AF得到50*10*5=2500；最后将计算结果相加得到50*10*5+40*30*5+10*40*5=10500;

      依次类推，得到；16000, 10500,36000, 87500, 34500

动态规划

   将矩阵连乘积记为A[i:j]，这里i≤j  

   考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵

    Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全加括号方式为。

   计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。

   矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。

     计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]        

2建立递归关系

n当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n

3计算最优值

对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此，不同子问题的个数最多只有

    在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

4用动态规划法求最优解

A1	A2	A3	A4	A5	A6
30´35	35´15	15´5	5´10	10´20	20´25

void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s)
{
        for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;
        for (int r = 2; r <= n; r++)
           for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) {
              int j=i+r-1;
              m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];
              s[i][j] = i;
              for (int k = i+1; k <j; k++) {
                 int t = m[i][k] + m[k+1][j]+ p[i-1]*p[k]*p[j];
                 if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}
              }
          }
}