第六次CCF计算机软件能力认证考试(第四题)

问题描述
  某国有n个城市,为了使得城市间的交通更便利,该国国王打算在城市之间修一些高速公路,由于经费限制,国王打算第一阶段先在部分城市之间修一些单向的高速公路。
  现在,大臣们帮国王拟了一个修高速公路的计划。看了计划后,国王发现,有些城市之间可以通过高速公路直接(不经过其他城市)或间接(经过一个或多个其他城市)到达,而有的却不能。如果城市A可以通过高速公路到达城市B,而且城市B也可以通过高速公路到达城市A,则这两个城市被称为便利城市对。
  国王想知道,在大臣们给他的计划中,有多少个便利城市对。
输入格式
  输入的第一行包含两个整数n, m,分别表示城市和单向高速公路的数量。
  接下来m行,每行两个整数a, b,表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b。
输出格式
  输出一行,包含一个整数,表示便利城市对的数量。
样例输入
5 5
1 2
2 3
3 4
4 2
3 5
样例输出
3
样例说明
第六次CCF计算机软件能力认证考试(第四题)_第1张图片
  城市间的连接如图所示。有3个便利城市对,它们分别是(2, 3), (2, 4), (3, 4),请注意(2, 3)和(3, 2)看成同一个便利城市对。
评测用例规模与约定
  前30%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 1000;
  前60%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 10000;
  所有评测用例满足1 ≤ n ≤ 10000, 1 ≤ m ≤ 100000。

题目大意: 给定一个有向图,求出哪些点之间可以相互达到?最后输出的是,可以相互到达的点的对数

思路:这道题明显是求 强连通分量的个数,假设某个连通分量里面节点数为n,那么该连通分量的对数为 n*(n-1)/2 , 只要把所有连通分量的对数加起来就是整张图的对数

本题关键还是求 强连通分量的个数。我网上查了一下,决定用 Tarjan算法。

Tarjan算法:

核心还是dfs深度遍历;

用数组dfn[i]表示搜索到该节点所需要的时间戳、low[i]表示节点i直接或者间接达到的时间最小的点;

当u入栈,扫描u能够达到的所有节点,如果节点v没有访问过,那就先dfs遍历v, low[u] = min(low[u],low[v]) ,如果v在栈里,low[u] = min(low[u],dfn[v]); 当low[u] = dfn[u] 时,栈内节点u以及u以上所有的点全部出栈,这些点为一个强连通子图的节点。

以上时算法的实现步骤,关于证明,呃。。我也不太明白


#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#define MAX 10010

int n;   //表示节点数目
vector<int> g[MAX];  //动态数组,节约空间

int Bcnt;  //强连通分量个数
int Top;   //栈顶
int Index; //时间戳
int low[MAX],dfn[MAX];  //Tarjan算法里的两个重要数组
int belong[MAX],stack[MAX];  //belong数组表示该节点属于哪一个连通分量
bool instack[MAX];
int answer = 0;

void Init_tarjan(){
    Bcnt = Top = Index = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        low[i] = dfn[i] = 0;
}

void Tarjan(int u){
    stack[Top++] = u;   //将元素u入栈
    instack[u] = 1;     //标记元素已经入栈
    low[u] = dfn[u] = ++Index;
    for(int i=0;i<g[u].size();i++){
        int v = g[u][i];
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v);
            low[u] = min(low[v],low[u]);
        }
        else if(instack[v])
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(low[u] == dfn[u]){
        Bcnt++;
        int sum = 0;
        int v;
        do{
            v = stack[--Top];    //出栈
            instack[v] = 0;
            belong[v] = Bcnt;
            sum++;               //表示连通子图中节点的个数
        }while(u!=v);
        sum = (sum * (sum-1))/2;
        answer  = answer + sum;
    }
}

int main(){
    int m;     //图中的边数
    cin>>n>>m;
    while(m--){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        g[x].push_back(y);
    }
    Init_tarjan();   //先初始化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i])
            Tarjan(i);
    }
    cout<<answer<<endl;
    return 0;
}



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