一道有趣的木板问题

前些日子在网上闲逛，看到一个有趣的木板问题，和同学交流一番，略有心得，就把我的解法写出来分享。

题目是这样的，有N块木板，高低均不相同，但因为会互相遮挡，按高矮不同的组合从左右分别看过去可以看到不同的木板数，求从左边看上去有L块，右边看上去有R块的组合数。

 

 

如这个图，木板总共有9块，从左边看上去能看到4块，从右边看过去能看到3块。

 

解题思路与方法：

1、首先，这是一个组合数学问题。显然，最高的一块木板无论怎么摆都会被左右两边同时看到，因此，若所有木板都没有被遮挡的情况下，左右两边能看到的模板的最大数量为N+1块，因此，当L+R>N+1时，问题无解，即所求组合数为0，同时，若L<=0或者R<=0同样无解。

 

2、现在讨论有解的情况，因为最高的一块肯定能被看到，除去最高一块之外，左边至少需要L-1块木板，右边至少需要R-1块木板，所以可自由分配的木板的个数为N-1-（L-1+R-1）=N-L-R+1，即左边木板的取值范围是（L-1，N-R），相应的，右边为（R-1，N-L）。

 

3、有x块木板，从一个个固定方向看上去，只能看到y块的组合数，形式化定义为f(x,y)，由2可知，整个问题的组合数可以表示为：（没有数学公式编辑器真蛋疼）

 

含义就是，给左边分配i块木板，让它看上去可以看到L-1块，同时给右边分配N-i块板(公式打错了，懒得改了），让他看上去是R-1块。为啥是L-1和R-1呢？因为最高的那块肯定是要被看到的，两边共享，除去最高的那块，实际上两边只需要看到L-1和R-1块就行了。因为排列组合中的乘法原理，所以二者相乘而不是相加，同时枚举木板的所有可能取值，也就是那个求和符号。

 

4、现在的问题是，如何求f这个函数的解。这里的方法是，尝试把f变换成一个递归定义的函数，然后通过求解递归式的方法进行求解。

对于函数f(x,y)，易知，当x=y时，f(x,y)=1，即共有x块木板，要看到x块，唯一的排列方式是按从低到高排列，只有这样木板才不会互相遮挡全部看到。

当x<y时，f(x,y)=0，或者y<=0，显而易见这种情况下没有可行的排列，故不做讨论。

当y>x时，先定义全排列函数A(x,y)也就是从y中取x得全排列，然后可以得到

 

这个公式怎么理解呢？简而言之就是，ｉ代表最高的木板后面有多少木板，显然，这些木板会被挡住而看不见，以ｘ＝４，ｙ＝６来描述吧，即所求的是，总共有６块木板，要从一侧看上去只能看到４块，它的排列有多少种。

当ｉ＝０时，即最高的木板后面没有任何木板，此时问题变成，总共５块木板，从一侧看上去只有３块的组合数，即ｆ（３，５）。

当ｉ＝１时，即最高的木板后面有一块木板，首先先选出除了最高木板那块之外，剩下的模板中到底那块木板会放在最高木板之后，即Ａ（１，５）＝５，其次问题变成还剩下４块木板（最高的和最高的后面挡住那块给去除掉），要看上去只能看到３块，即ｆ（３，４）。

当ｉ＝２时，最高木板后面放两块，其余同ｉ＝１。

 

 

５、这样把ｆ用递归的形式表示出来，然后再求解一介递归式，带入第三步的公式，额，貌似形式不是很直观，这里就不写了。