除法取模（逆元）

逆元：
若，b*b1 % c == 1
则，b1称为b模c的乘法逆元。

在ACM中，许多除法取模都要用到求逆元。
但是，逆元，为什么能给我们带来 ( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c ？？？

（当然a/b要整除）

要知道，取模等式等价变形中，是没有除法的！！！

而推导式，还是没有用除法的地方！！！

我们用反证法证明：

若b*b1 % c == 1，则( a/b ) % c ！= ( a*b1 ) % c
若我们证明这一命题是错误的，我们目的就达到了。

令，a/b   == k1*c+y1
       a*b1 == k2*c+y2
原来的证明则变成了：若b*b1 % c == 1，则 y1!=y2


两式相减，有 a/b-a*b1 == (k1-k2)*c + (y1-y2)
设 k == k1-k2
     y == y1-y2
有，a/b-a*b1 == k*c + y
左右乘以b，有 a*(1-b*b1) == k*b*c + b*y
左右模上c，
左边 == a*(1-b*b1)%c
        == ( a*( 1%c - b*b1%c ) )%c
        == 0
右边 == (k*b*c + b*y)%c
        == b*y%c
因为a/b为整除，b显然不会是0，那么y必须是0，这与命题矛盾，证毕

p.s. 因为是自己证的，万一有错误，还望大牛指出。


为什么求逆元会用扩展欧几里得？

我们的目标，其实是解b*b1 % c == 1
令 b*b1 == k*c + 1
即 -k*c + b*b1 == 1
仔细观察，这个不就是扩展欧几里得嘛。

那么，为什么gcd(b,c)==1，才会有逆元变得简单了。
因为 1 % gcd(b,c) == 0 ，扩展欧几里得才有解，具体来说，gcd(b,c)只能为1

代码：

一、欧几里得算法（辗转相除法）

1、用途：快速计算两个数的最大公约数。

2、精髓：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

3、证明：设r=a mod b,则我们要证明的是gcd(a,b)=gcd(b,r)

             设gcd(a,b)=c，则a=mc，b=nc,且m，n互质。那么r=a-kb=(m-kn)c,所以c也是r的因数。

             若gcd(b,r)>c,则设为d，则有b=m1*d,r=n1*d,所以a=(m1+n1)*d,则d为a的因数，所以gcd(a,b)=d,与题设不符。

             所以gcd(a,b)=gcd(b,r)

4、时间复杂度：显然经过两次递归后第一个参数至少减小一半

                      所以时间复杂度粗略为O(log max(a,b))

5、经典例题：线段上格点的个数

 

二、扩展欧几里得算法：

1、用途：快速求整数x，y使得ax+by=gcd（a，b）

2、精髓代码：

void extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x; 
    }
}

 

     3、证明：由于gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

                  所以b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(a,b)

                  a%b = a - (a/b)*b

                  所以gcd(a,b) = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                                    = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                                    = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

                  对于我们所求的x，y使得ax+by=gcd(a,b)

                  则有  x = y1

                  y = x1 – a/b*y1

                  证毕

                  至于终止条件，因为当欧几里得算法终止时a=gcd，b=0，则当x=1，y=0时，必使目标公式成立。

                  另外关于ax+by=c的充要条件为什么是c=gcd(a,b),可以自行百度一下裴蜀定理。

     4、时间复杂度：与欧几里得算法一致

     5、经典例题：双六