除法取模(逆元)


逆元:
若,b*b1 % c == 1
则,b1称为b模c的乘法逆元。

在ACM中,许多除法取模都要用到求逆元。
但是,逆元,为什么能给我们带来 ( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c ???

(当然a/b要整除)

要知道,取模等式等价变形中,是没有除法的!!!

而推导式,还是没有用除法的地方!!!



我们用反证法证明:

若b*b1 % c == 1,则( a/b ) % c != ( a*b1 ) % c
若我们证明这一命题是错误的,我们目的就达到了。

令,a/b   == k1*c+y1
       a*b1 == k2*c+y2
原来的证明则变成了:若b*b1 % c == 1,则 y1!=y2


两式相减,有 a/b-a*b1 == (k1-k2)*c + (y1-y2)
设 k == k1-k2
     y == y1-y2
有,a/b-a*b1 == k*c + y
左右乘以b,有 a*(1-b*b1) == k*b*c + b*y
左右模上c,
左边 == a*(1-b*b1)%c
        == ( a*( 1%c - b*b1%c ) )%c
        == 0
右边 == (k*b*c + b*y)%c
        == b*y%c
因为a/b为整除,b显然不会是0,那么y必须是0,这与命题矛盾,证毕

p.s. 因为是自己证的,万一有错误,还望大牛指出。


为什么求逆元会用扩展欧几里得?

我们的目标,其实是解b*b1 % c == 1
令 b*b1 == k*c + 1
即 -k*c + b*b1 == 1
仔细观察,这个不就是扩展欧几里得嘛。

那么,为什么gcd(b,c)==1,才会有逆元变得简单了。
因为 1 % gcd(b,c) == 0 ,扩展欧几里得才有解,具体来说,gcd(b,c)只能为1



代码:

一、欧几里得算法(辗转相除法)

1、用途:快速计算两个数的最大公约数。

2、精髓:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

3、证明:设r=a mod b,则我们要证明的是gcd(a,b)=gcd(b,r)

             设gcd(a,b)=c,则a=mc,b=nc,且m,n互质。那么r=a-kb=(m-kn)c,所以c也是r的因数。

             若gcd(b,r)>c,则设为d,则有b=m1*d,r=n1*d,所以a=(m1+n1)*d,则d为a的因数,所以gcd(a,b)=d,与题设不符。

             所以gcd(a,b)=gcd(b,r)

4、时间复杂度:显然经过两次递归后第一个参数至少减小一半

                      所以时间复杂度粗略为O(log max(a,b))

5、经典例题:线段上格点的个数

 

二、扩展欧几里得算法:

1、用途:快速求整数x,y使得ax+by=gcd(a,b)

2、精髓代码:

复制代码
void extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x; 
    }
}
复制代码

 

     3、证明:由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

                  所以b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(a,b)

                  a%b = a - (a/b)*b

                  所以gcd(a,b) = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                                    = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                                    = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

                  对于我们所求的x,y使得ax+by=gcd(a,b)

                  则有  x = y1

                  y = x1 – a/b*y1

                  证毕

                  至于终止条件,因为当欧几里得算法终止时a=gcd,b=0,则当x=1,y=0时,必使目标公式成立。

                  另外关于ax+by=c的充要条件为什么是c=gcd(a,b),可以自行百度一下裴蜀定理。

     4、时间复杂度:与欧几里得算法一致

     5、经典例题:双六




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