史上最详尽的平衡树(splay)讲解与模板

首先声明：万分感谢gty大哥的帮助！这年头能找到简单易懂的数组版平衡树模板只能靠学长了！

变量声明：f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），size[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，root为整棵树的根。

再介绍几个基本操作：

【clear操作】：将当前点的各项值都清0（用于删除之后）

inline void clear(int x){
     ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;
}

【get操作】：判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子

inline int get(int x){
     return ch[f[x]][1]==x;
}

【update操作】：更新当前点的size值（用于发生修改之后）

inline void update(int x){
     if (x){
          size[x]=cnt[x];
          if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
          if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
     }
}

下面boss来了：

【rotate操作图文详解】

这是原来的树，假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。

step 1：

找出D的父亲结点（B）以及父亲的父亲（A）并记录。判断D是B的左结点还是右结点。

step 2：

我们知道要将Drotate到B的位置，二叉树的大小关系不变的话，B就要成为D的右结点了没错吧？

咦？可是D已经有右结点了，这样不就冲突了吗？怎么解决这个冲突呢？

我们知道，D原来是B的左结点，那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧，那么正好，我们把G接到B的左结点去，并且这样大小关系依然是不变的，就完美的解决了这个冲突。

这样我们就完成了一次rotate，如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作：

我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子，设这个关系为K；将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子（这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子）；将D与K关系相反的儿子的父亲即为B（这里即为把G的父亲记为B）；将B的父亲即为D；将D与K关系相反的儿子记为B（这里即为把D的右儿子记为B）；将D的父亲记为A。

最后要判断，如果A存在（即rotate到的位置不是根的话），要把A的儿子即为D。

显而易见，rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系，BG DG BD AB，需要三个操作（BG BD AB）。

step 3：update一下当前点和各个父结点的各个值

【代码】

inline void rotate(int x){
     int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);
     ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;
     f[old]=x;ch[x][which^1]=old;
     f[x]=oldf;
     if (oldf)
          ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
     update(old);update(x);
}

【splay操作】

其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态，也可以传两个参。此代码直接splay到根。

splay的过程中需要分类讨论，如果是三点一线的话（x，x的父亲，x的祖父）需要先rotate x的父亲，否则需要先rotate x本身（否则会形成单旋使平衡树失衡）

inline void splay(int x){
     for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))
          if (f[fa])
               rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));
     root=x;
}

【insert操作】

其实插入操作是比较简单的，和普通的二叉查找树基本一样。

step 1：如果root=0，即树为空的话，做一些特殊的处理，直接返回即可。

step 2：按照二叉查找树的方法一直向下找，其中：

如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话，我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。

如果已经到了最底下了，那么就可以直接插入。整个树的大小要+1，新结点的左儿子右儿子（虽然是空）父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update（做他自己的没有必要）。做一下splay。

inline void insert(int v){
     if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}
     int now=root,fa=0;
     while (1){
          if (key[now]==v){
               cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;
          }
          fa=now;
          now=ch[now][key[now]<v];
          if (now==0){
               sz++;
               ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;
               cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;
               update(fa);
               splay(sz);
               break;
          }
     }
}

【find操作】查询x的排名

初始化：ans=0，当前点=root

和其它二叉搜索树的操作基本一样。但是区别是：

如果x比当前结点小，即应该向左子树寻找，ans不用改变（设想一下，走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗）。

如果x比当前结点大，即应该向右子树寻找，ans需要加上左子树的大小以及根的大小（这里的大小指的是权值）。

不要忘记了再splay一下

inline int find(int v){
     int ans=0,now=root;
     while (1){
          if (v<key[now])
               now=ch[now][0];
          else{
               ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
               if (v==key[now]) {splay(now);return ans+1;}
               ans+=cnt[now];
               now=ch[now][1];
          }
     }
}

【findx操作】找到排名为x的点

初始化：当前点=root

和上面的思路基本相同：

如果当前点有左子树，并且x比左子树的大小小的话，即向左子树寻找；

否则，向右子树寻找：先判断是否有右子树，然后记录右子树的大小以及当前点的大小（都为权值），用于判断是否需要继续向右子树寻找。

inline int findx(int x){
     int now=root;
     while (1){
          if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
               now=ch[now][0];
          else{
               int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
               if (x<=temp)
                    return key[now];
               x-=temp;now=ch[now][1];
          }
     }
}

【求x的前驱（后继），前驱（后继）定义为小于（大于）x，且最大（最小）的数】

这类问题可以转化为将x插入，求出树上的前驱（后继），再将x删除的问题。

其中insert操作上文已经提到。

【pre/next操作】

这个操作十分的简单，只需要理解一点：在我们做insert操作之后做了一遍splay。这就意味着我们把x已经splay到根了。求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点，后继是求x的右子树的左边一个结点（想一想为什么？）

inline int pre(){
     int now=ch[root][0];
     while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
     return now;
}

inline int next(){
     int now=ch[root][1];
     while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
     return now;
}

【del操作】

删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。

step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。

step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。

step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。

step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）

剩下的就是它有两个儿子的情况。

step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。

inline void del(int x){
     int whatever=find(x);
     if (cnt[root]>1) {cnt[root]--;return;}
     //Only One Point
     if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return;}
     //Only One Child
     if (!ch[root][0]){
          int oldroot=root;root=ch[root][1];f[root]=0;clear(oldroot);return;
     }
     else if (!ch[root][1]){
          int oldroot=root;root=ch[root][0];f[root]=0;clear(oldroot);return;
     }
     //Two Children
     int leftbig=pre(),oldroot=root;
     splay(leftbig);
     f[ch[oldroot][1]]=root;
     ch[root][1]=ch[oldroot][1];
     clear(oldroot);
     update(root);
     return;
}

【总结】

平衡树的本质其实是二叉搜索树，所以很多操作是基于二叉搜索树的操作。

splay的本质是rotate，旋转其实只是为了保证二叉搜索树的平衡性。

所有的操作一定都满足二叉搜索树的性质，所有改变父子关系的操作一定要update。

关键是理解rotate，splay的原理以及每一个操作的原理。

所有的操作均来自bzoj3224 普通平衡树  附链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224