poj 2299(树状数组)

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题意:

给你一个序列,如果每次可以交换相邻的两个数,则将序列变位递增序列需要多少次。。。


分析:

按数字的大小从小到大排序,然后再进行离散化。很明显求逆序数。。。


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.先对输入的数组离散化,使得各个元素比较接近,而不是离散的,

2.接着,运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释:

1.解释为什么要有离散的这么一个过程?

    刚开始以为999.999.999这么一个数字,对于int存储类型来说是足够了。

    还有只有500000个数字,何必要离散化呢?

    刚开始一直想不通,后来明白了,后面在运用树状数组操作的时候,

    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的,

    不是单纯的建立在输入数组之上。

    比如输入一个9 1 0 5 4,那么C[i]树状数组的建立是在,

    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的,

    所以如果用数组位存储的话,那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

    这样是很浪费空间的,题目也是不允许的,所以这里想通过离散化操作,

    使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作?

   离散化是一种常用的技巧,有时数据范围太大,可以用来放缩到我们能处理的范围;

   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999;显然数组不肯能这么大;

   而N的最大范围是500 000;故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射;

   ①当然用map可以建立,效率可能低点;

   ②这里用一个结构体

   struct Node

   {

      int v,ord;

   }p[510000];和一个数组a[510000];

   其中v就是原输入的值,ord是下标;然后对结构体按v从小到大排序;

   此时,v和结构体的下标就是一个一一对应关系,而且满足原来的大小关系;

   for(i=1;i<=N;i++)

a[p[i].ord]=i;

   然后a数组就存储了原来所有的大小信息;

   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3;

   具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后,怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作,计算出逆序数?

    如果数据不是很大, 可以一个个插入到树状数组中,

    每插入一个数, 统计比他小的数的个数,

    对应的逆序为 i- sum( aa[i] ),

    其中 i 为当前已经插入的数的个数,

    sum( aa[i] )为比 aa[i] 小的数的个数,

    i- sum( aa[i] ) 即比aa[i] 大的个数,即逆序的个数

    但如果数据比较大,就必须采用离散化方法

    假设输入的数组是9 1 0 5 4, 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上,那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1,输入5,   调用update(5,1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(5) = 1操作,

现在用输入的下标1 - sum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2, 调用update(2,1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(2) = 1操作,

现在用输入的下标2 - sum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1, 调用update(1,1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(1) = 1操作,

现在用输入的下标 3 - sum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4, 调用update(4,1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(4) = 3操作,

现在用输入的下标4 - sum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3, 调用update(3,1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(3) = 3操作,

现在用输入的下标5 - sum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度,首先用到快速排序,时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字,每次插入一个数字,分别调用一次updata()和sum()

外循环N, updata()和sum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN). 

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"algorithm"
using namespace std;
#define N 500001
int A[N];
int C[N];
int n;
struct node
{
	int a,i;
}a[N];
int cmp(node a,node b)
{
	return a.a<b.a;
}
int bit(int x)
{
	return x&(-x);
}
int sum(int x)
{
	int ans=0;
	while(x>0)
	{
		ans+=C[x];
		x-=bit(x);
	}
	return ans;
}
void add(int x)
{
	while(x<=n)
	{
		C[x]++;
		x+=bit(x);
	}
}
int main()
{
	int i;
	__int64 ans;
	while(scanf("%d",&n)!=-1&&n)
	{
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i].a);
			a[i].i=i;
		}
		sort(a+1,a+1+n,cmp);
		memset(C,0,sizeof(C));
		for(i=1;i<=n;i++)
			A[a[i].i]=i;
		ans=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			add(A[i]);
			ans+=i-sum(A[i]);
		}
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}




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