hdoj 2157 How many ways?? 【矩阵快速幂】【求任意两点间的路径上 经过k个点的方案数】

How many ways?? Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 2102    Accepted Submission(s): 771 Problem Description 春天到了, HDU校园里开满了花, 姹紫嫣红, 非常美丽. 葱头是个爱花的人, 看着校花校草竞相开放, 漫步校园, 心情也变得舒畅. 为了多看看这迷人的校园, 葱头决定, 每次上课都走不同的路线去教室, 但是由于时间问题, 每次只能经过k个地方, 比方说, 这次葱头决定经过2个地方, 那他可以先去问鼎广场看看喷泉, 再去教室, 也可以先到体育场跑几圈, 再到教室. 他非常想知道, 从A 点恰好经过k个点到达B点的方案数, 当然这个数有可能非常大, 所以你只要输出它模上1000的余数就可以了. 你能帮帮他么?? 你可决定了葱头一天能看多少校花哦   Input 输入数据有多组, 每组的第一行是2个整数 n, m(0 < n <= 20, m <= 100) 表示校园内共有n个点, 为了方便起见, 点从0到n-1编号,接着有m行, 每行有两个整数 s, t (0<=s,t<n) 表示从s点能到t点, 注意图是有向的.接着的一行是两个整数T,表示有T组询问(1<=T<=100), 接下来的T行, 每行有三个整数 A, B, k, 表示问你从A 点到 B点恰好经过k个点的方案数 (k < 20), 可以走重复边。如果不存在这样的走法, 则输出0 当n, m都为0的时候输入结束   Output 计算每次询问的方案数, 由于走法很多, 输出其对1000取模的结果   Sample Input 4 4 0 1 0 2 1 3 2 3 2 0 3 2 0 3 3 3 6 0 1 1 0 0 2 2 0 1 2 2 1 2 1 2 1 0 1 3 0 0   Sample Output 2 0 1 3

离散数学派上用场了。

注意：题目说的经过k个点是包括终点的。

思路：把图论和矩阵联系到一起。i点到j点有路径，那么在矩阵第i行第j列的元素就为1，反之为0。

图用矩阵A来表示后，有这样的性质——i点到j点经过1个中间点的边可重复的路径数就等于ΣA(i,k)*A(k,j)，其中k是中间点。我们需要求的是s点到t点经过k个点（经过k-1个中间点）的边可重复的路径数目。因此我们只需求出矩阵A的K次幂，最后矩阵A(s, t)位置的元素就是答案。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 20+10
#define LL long long
#define MOD 1000
using namespace std;
struct Matrix
{
    int a[MAXN][MAXN];
    int r, c;
};
Matrix ori, res;
int s[110], t[110];
void init(int n, int m)
{
    ori.r = ori.c = res.r = res.c = n;
    memset(ori.a, 0, sizeof(ori.a));
    memset(res.a, 0, sizeof(res.a));
    for(int i = 0; i < n; i++)//构造单位矩阵
        res.a[i][i] = 1;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        ori.a[s[i]][t[i]] = 1;
}
Matrix muitl(Matrix x, Matrix y)
{
    Matrix z;
    memset(z.a, 0, sizeof(z.a));
    z.r = x.r; z.c = y.c;
    for(int i = 0; i < x.r; i++)
    {
        for(int k = 0; k < x.c; k++)
        {
            if(x.a[i][k] == 0) continue;
            for(int j = 0; j < y.c; j++)
                z.a[i][j] = (z.a[i][j] + (x.a[i][k] * y.a[k][j]) % MOD) % MOD;
        }
    }
    return z;
}
void Matrix(int s, int t, int n)
{
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            res = muitl(ori, res);
        ori = muitl(ori, ori);
        n >>= 1;
    }
    printf("%d\n", res.a[s][t]);//输出方案数
}
int main()
{
    int N, M, Q;
    while(scanf("%d%d", &N, &M), N||M)
    {
        for(int i = 0; i < M; i++)
            scanf("%d%d", &s[i], &t[i]);
        scanf("%d", &Q);
        int A, B, K;
        while(Q--)
        {
            scanf("%d%d%d", &A, &B, &K);
            init(N, M);//每次都要重新构造矩阵
            Matrix(A, B, K);//求矩阵的K次幂
        }
    }
    return 0;
}