阿喀琉斯悖论讨论

话说芝诺提出的悖论有很多个，比较出名的有两分法悖论，阿喀琉斯悖论，飞矢不动悖论，以及游行队伍悖论等等。

关于阿喀琉斯悖论描述大概是这样的：阿喀琉斯是一个跑得非常快的人，但是可以证明他追不上乌龟，证明方法是：每当阿喀琉斯追到乌龟刚才在的地方时，乌龟又往前挪动了一点距离，因此阿喀琉斯一直是在乌龟后面的永远超不过它。

在Introduction to Mathematical Philosophy当中有如下的通过数学证明的方法

1：假设刚开始的时候乌龟在x_1位置，阿喀琉斯在x_0位置，此时假设x_0是位于x_1后面的。

2：对于i>=1的状态，每当阿喀琉斯到位置x_i时，乌龟便会移动到x_(i+1)，这时候x_i是在x_(i+1)后面，所以阿喀琉斯在x_i到x_(i+1)之间是没有机会超过乌龟的。

3：由1，2得，阿喀琉斯在x_0到x_1，之间，x_1到x_2之间，……是没有机会超过乌龟的。

4：对于所有的i，假设一个正数T_i表示阿喀琉斯从x_i追到x_(i+1)所用的时间。

5：由4得，对于所有的i，阿喀琉斯从x_0追到x_(i+1)使用了T_0+T_1+...+T_(i+1)的时间，这里面的T都是正数。

6：由5得，所以T_0+T_1+...+T_(i+1)是无限长的时间

7：由6得，所以阿喀琉斯没有机会运动通过所有的x_0，x_1，x_2，...

8：所以阿喀琉斯一定在某一个x_i的后面

9：由3和8得，既然阿喀琉斯没有机会在x_i到x_(i+1)之间超过乌龟，而且阿喀琉斯永远在某一个x_i的后面，因此，阿喀琉斯没有办法超过乌龟。

所以得出结论：阿喀琉斯没有办法超过乌龟。

对于演绎推理来说，一般是如下的方法：

(P1) A

(P2) If A, then B

------------------------

(C)   B

那么如果前提条件都是成立的，那么结论一定会是成立的，但是，在有时候，结论很明显是错的，这时候悖论就产生了，这种情况下，基本上是因为一个细微的前提条件出现了错误，才导致了结论的错误。

在这个问题上，步骤6是有问题的。

假设T_0=1/2，T_1=1/4，T_2=1/8……T_n=1/(2^(n+1))

那么此时T_0+T_1+....+T_(n)=1/2+1/4+1/8+...+1/(2^(n+1))<1

其实我们可以知道，1/2+1/4+1/8+.......=1

如何证明呢？

假设            S=1/2+1/4+1/8+....

那么有(1/2)S=        1/4+1/8+....

那么两个式子相减，得到

1/2S=1/2

所以S=1

但是看下一个例子

假设我们要求S=2+4+8+16+32....呢？

        S=     2+4+8+16+32+....

(1/2)S=1+2+4+8+16+32+.....

两个式子相减，得到

(1/2)S=-1

S=-2

这肯定有问题，可以看一下分解

当我们都取5个数时

式子1：

    S=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32

S/2=         1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

此时相减得S/2=1/2-1/64。

当项数增大时，1/64这一项会越来越小，一直到可以忽略。

对于式子2来说 

   S=     2+4+8+16+32

S/2=1+2+4+8+16

S/2=32-1

当项数越来越多时，32这一项也会越来越大，所以这是不能够被忽略的。

唔，跑题了，回来。

一般的，既然阿喀琉斯跑的比乌龟快，所以假设阿喀琉斯的速度是乌龟的x倍，那么T_i与T_(i+1)的关系就是x倍的关系。

所以，这时候T_0+T_1+....+T_n也会逐渐逼近一个数，这个数就是阿喀琉斯追上乌龟的时间。