hdu 4521 小明系列问题——小明序列 （间隔至少为d的LIS 两种解法）

小明系列问题——小明序列

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Problem Description

　　大家都知道小明最喜欢研究跟序列有关的问题了，可是也就因为这样，小明几乎已经玩遍各种序列问题了。可怜的小明苦苦地在各大网站上寻找着新的序列问题，可是找来找去都是自己早已研究过的序列。小明想既然找不到，那就自己来发明一个新的序列问题吧！小明想啊想，终于想出了一个新的序列问题，他欣喜若狂，因为是自己想出来的，于是将其新序列问题命名为“小明序列”。

　　提起小明序列，他给出的定义是这样的：
　　①首先定义S为一个有序序列，S={ A1 , A2 , A3 , ... , An }，n为元素个数 ；
　　②然后定义Sub为S中取出的一个子序列，Sub={ Ai1 , Ai2 , Ai3 , ... , Aim }，m为元素个数 ；
　　③其中Sub满足 Ai1 < Ai2 < Ai3 < ... < Aij-1 < Aij < Aij+1 < ... < Aim ；
　　④同时Sub满足对于任意相连的两个Aij-1与Aij都有 ij - ij-1 > d (1 < j <= m， d为给定的整数)；
　　⑤显然满足这样的Sub子序列会有许许多多，而在取出的这些子序列Sub中，元素个数最多的称为“小明序列”(即m最大的一个Sub子序列)。
　　例如：序列S={2,1,3,4} ，其中d=1；
　　可得“小明序列”的m=2。即Sub={2,3}或者{2,4}或者{1,4}都是“小明序列”。

　　当小明发明了“小明序列”那一刻,情绪非常激动，以至于头脑凌乱，于是他想请你来帮他算算在给定的S序列以及整数d的情况下，“小明序列”中的元素需要多少个呢？

 

Input

　　输入数据多组，处理到文件结束;
　　输入的第一行为两个正整数 n 和 d；(1<=n<=10^5 , 0<=d<=10^5)
　　输入的第二行为n个整数A1 , A2 , A3 , ... , An，表示S序列的n个元素。(0<=Ai<=10^5)

 

Output

　　请对每组数据输出“小明序列”中的元素需要多少个，每组测试数据输出一行。

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    2 0
1 2
5 1
3 4 5 1 2
5 2
3 4 5 1 2
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    2
2
1
   
   
   
   

 

Source

2013腾讯编程马拉松初赛第四场（3月24日）

题意：

给定一个长度为N的序列，现在要求给出一个最长的序列满足序列中的元素严格上升并且相邻两个数字的下标间隔要严格大于d。

思路1：

LIS变形，回忆O(n*log(n))的解法，维护一个c[i]-长度为i的递增序列结尾的最小数。每次在c[ ]中找到>=a[i]的位置pos，更新c[pos],得到dp[i]=pos；现在要使相邻的间隔>d，那么只需延迟d个单位更新c[ ]就行了。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#pragma comment (linker,"/STACK:102400000,102400000")
#define maxn 1005
#define MAXN 100005
#define OO (1<<31)-1
#define mod 90003
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
typedef long long ll;
using namespace std;

int n,d,ans;
int a[MAXN],c[MAXN],dp[MAXN];

void solve()
{
    int i,j,t;
    ans=0;
    memset(c,0x3f,sizeof(c));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=lower_bound(c+1,c+n+1,a[i])-c;
        ans=max(ans,dp[i]);
        j=i-d;
        if(j>0&&c[dp[j]]>a[j]) c[dp[j]]=a[j];
    }
}
int main()
{
    int i,j,t;
    while(~scanf("%d%d",&n,&d))
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        solve();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

思路2：

n*n的做法为dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); (a[i]>a[j]) ，要降低复杂度，用线段树维护区间a[i]的值在[l,r]的最大dp值即可，每次用a[i]、dp[i]来单点更新，区间查询。要使相邻的间隔>d，同样也需延迟d个单位更新。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#pragma comment (linker,"/STACK:102400000,102400000")
#define maxn 1005
#define MAXN 100005
#define OO (1<<31)-1
#define mod 90003
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
typedef long long ll;
using namespace std;

int n,d,ans;
int a[MAXN],maxx[MAXN<<2],dp[MAXN];

int query(int le,int ri,int rt,int x,int y)
{
    if(le==x&&ri==y) return maxx[rt];
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(y<=mid) return query(le,mid,rt<<1,x,y);
    else if(x>mid) return query(mid+1,ri,rt<<1|1,x,y);
    else
    {
        return max(query(le,mid,rt<<1,x,mid),query(mid+1,ri,rt<<1|1,mid+1,y));
    }
}
void update(int le,int ri,int rt,int x,int y)
{
    if(le==ri)
    {
        maxx[rt]=max(maxx[rt],y);
        return ;
    }
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(x<=mid) update(le,mid,rt<<1,x,y);
    else update(mid+1,ri,rt<<1|1,x,y);
    maxx[rt]=max(maxx[rt<<1],maxx[rt<<1|1]);
}
int main()
{
    int i,j,t;
    while(~scanf("%d%d",&n,&d))
    {
        memset(maxx,0,sizeof(maxx));
        ans=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            a[i]+=2;
            dp[i]=query(1,100002,1,1,a[i]-1)+1;
            ans=max(ans,dp[i]);
            if(i-d>=1) update(1,100002,1,a[i-d],dp[i-d]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
/*
2 0
1 2
5 1
3 4 5 1 2
5 2
3 4 5 1 2
*/