poj 1286 Necklace of Beads & poj 2409 Let it Bead(初涉polya定理)
http://poj.org/problem?id=1286
题意：有红、绿、蓝三种颜色的n个珠子，要把它们构成一个项链，问有多少种不同的方法。旋转和翻转后相同的属于同一种方法。
polya计数。
搜了一篇论文Pólya原理及其应用看了看polya到底是什么东东，它主要计算全部互异的组合的个数。对置换群还是似懂略懂。用polya定理解决问题的关键是找出置换群的个数及哪些置换群，每种置换的循环节数。像这种不同颜色的珠子构成项链的问题可以把N个珠子看成正N边形。
Polya定理：（1）设G是p个对象的一个置换群，用k种颜色给这p个对象，若一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案，则这两个方案当作是同一种方案，这样的不同染色方案数为：
；
(2) 对于N个珠子的项链，共有n种旋转置换和n种翻转置换。
对于旋转置换：每种置换的循环节数c(fi) = gcd(n,i)，(i为一次转过多少个珠子)
对于翻转置换：如果n为奇数，共有n种翻转置换，每种置换的循环节数c(f) = n/2 + 1;
如果n为偶数，c(f) = n/2的置换有n/2个； c(f) = n/2 + 1的置换有n/2个。
直接带入公式就KO了。
poj 1286
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10;
int n;
_LL ans;
int gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
if(n == -1)
break;
if(n == 0) //不考虑n=0的情况，会导致RE
{
printf("0\n");
continue;
}
ans = 0;
// n 种旋转置换
for(int i = 1; i <= n; i++)
ans += pow(3.0,gcd(n,i));
//m种翻转置换
if(n & 1)
{
ans += n * pow(3.0,n/2+1);
}
else
{
ans += n/2 * pow(3.0,n/2);
ans += n/2 * pow(3.0,n/2+1);
}
ans = ans/2/n;
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
poj 2409
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10;
int c,s;
_LL ans;
int gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
while(~scanf("%d %d",&c,&s))
{
if(c == 0 && s == 0) break;
ans = 0;
for(int i = 1; i <= s; i++)
ans += pow(c*1.0,gcd(s,i));
if(s & 1)
{
ans += s * pow(c*1.0,s/2+1);
}
else
{
ans += s/2 * pow(c*1.0,s/2);
ans += s/2 * pow(c*1.0,s/2+1);
}
ans = ans/2/s;
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}