图算法小结

1. 图的表示
  邻接表、邻接矩阵
  对于邻接表的表示，如果需要O(1)时间删除边，可以用一个单独的散列表来记录每条边的信息。

2. 图的路径和可达性
  无向图的顶点可达性：可以使用并查集来完成，可支持动态添加边，O(1)查询。
      或者一次BFS或DFS可以得到两个顶点是否可达。
  有向图的顶点可达性：BFS或DFS

  无向图的欧拉路径：环消除算法

  无向图的割点和桥：
    一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
    (1) u为树根，且u有多于一个子树。
    (2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。
    一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)<Low(v)。

    有向图的强连通分支：Kosaraju算法、Tarjan算法

    无向图的环检测：DFS检测回边。O(V)（因为找到V条边之后就证明有环了）
    有向图的环检测：DFS检测回边（包括父边）

    有向图的奇数环：转换为2-染色问题

    有向图的拓扑排序：DFS后序序列的逆序列


2. 最短路和最小生成树

    有向图的传递闭包：Warshall算法O(n^3)，多个顶点DFS O(VE)

    单源最短路：Bellman Ford算法、Dijkstra算法（要求无负边）
    全源最短路：Floyd算法O(n^3)、Dijkstra算法O(VElogV) 要求无负边、Johnson算法O(VElogV)

    最小生成树：Prim算法、Kruscal算法
    第二小生成树

3. 网络流

    求最小割：求最大流之后，从源点开始在剩余图上bfs，遍历到的点集合是S，没有遍历到的点集是U，连接S-U的所有边就是最小割。

    二部图最大匹配

    边连通度、顶点连通度

    运输问题、邮差问题、分配问题（最小成本流）

    有上下界的可行流：先加边转化为循环流，再添加辅助顶点，见：
    《一种简易的方法求解流量有上下界的网络中网络流问题》（周源）

    航班调度（即有向图最小路径点覆盖）：拆分成二部图，转换为类似二部图匹配问题
    (《算法设计》7.9)

    形似 ∑ai + ∑bj + ∑d(i, j) 的最小值可以转换为最小割问题求解。
             A B <i, j> ∈E

    项目选择问题（《算法设计7.11）：一个图，每个顶点有一个权重wi（可以是负的），顶点i和j之间有一条边，表示如果选择i，就必须同时选择j。要选出一些顶点，使得权重之和最大。
    增加两个顶点s和t，s和每个正权重的点连一条边，每个负权重的点连一条边，原图中的边赋以容量无穷大。求最小割，和s分到一组的点就是选出的顶点。

    Baseball elimination问题（《算法设计》7.12）：
    剩余每场比赛设一个顶点uxy，每支球队（除了目标球队z以外）设一个顶点v，另外增加两个顶点s和t。
    s -> uxy 容量 gxy
    uxy -> vx 容量无穷
    uxy -> vy 容量无穷
    vx -> t 容量 m - wx
    求出这个最大流对应的最小割，和s在同一个集合的顶点vx构成一个集合T，则最小割的值等于：
    ∑gxy + ∑(m - wx) = ∑gxy - ∑gxy + m|T| - ∑ wx
 <x, y>不属于T x属于T <x,y>属于T x属于T

                                          < ∑gxy

    所以 ∑ wx + ∑gxy > m|T|
            x属于T <x,y>属于T

    (说明T集合中的球队得分平均值大于m)