LeetCode Gas Station 两个特性，两种方法完美解答-更新证明方法

Gas Station

There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:
The solution is guaranteed to be unique.

这道题也挺麻烦的。乍看不难，用最简单的算法就是一个一个点地计算，计算到没油了，证明这点不能作为出发点。移动到下一个点作为出发点。这样的话思路还是挺简单的，不过这样写不accepted的，因为编译超时。

我觉得做这道题的关键是要可以总结出来这道题目的属性，注意Note这个地方，其属性主要有两个：

1 如果总的gas - cost小于零的话，那么没有解返回-1

2 如果前面所有的gas - cost加起来小于零，那么前面所有的点都不能作为出发点。

2013-12-1 update:

原创： 靖心http://write.blog.csdn.net/postedit/14106137

第一个属性的正确性很好理解。那么为什么第二个属性成立呢？

首先我们是从i =0个gas station计算起的，设开始剩油量为left=0，如果这个station的油是可以到达下一个station的，那么left=gas-cost为正数，

到了下一个station就有两种情况：

1 如果i=1个station的gas-cost也为正，那么前面的left加上当前station的剩油量也为正。

2 如果i=1个station的gas-cost为负，那么前面的left加上当前的station的剩油量也有两种情况：

一） left为正，那么可以继续到下一个station，重复前面计算i=2,i=3...，直到发生第二）种情况

 二）如果left为负，那么就不能到下一个station了，这个时候如果i=k(i<k<n)，这个时候是否需要从第i=1个station开始重新计算呢？不需要，因为第k个station之前的所有left都为正的，到了第k个station才变成负。

证明：

left(i)>0, 如果left(i+1)<0，从i+1个station重新开始测试是没有必要的；如果left(i+2) > 0呢？ 那么left(i) + left(i+1)>0; left(i) + left(i+1) +left(i+2) > left(i+2)那么从i+2个station开始也是没有必要的，以此类推……left(i) + ...+ left(k-2)>0, 那么left(i)+...+left(k-2) > left(k-1)， 那么就是没有必要从第k-1个节点重新开始计算了，现在到了第k个station的剩油量left变为负，也不能作为出发点，那么直接到k+1个计算就可以了。这就可以得出属性2了。

 

以前没重视数学的证明定理的方法，要去证明一个定理是很困难的。但是原来证明的方法主要不是用来证明定理的，而是用来发现规则和特征的。

 

主要利用属性2可以写两个程序：

程序一：记录最后一个加起来小于零的索引，然后返回这个索引+1就是答案了。

程序二：跳跃式，跃过不能作为出发点的点，加速循环

不总结出这些特性是难做出来的。两种方法的运行时间都差不多。

程序一：

 class Solution {
 public:
     int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost)
     {
         int sum = 0;
         int total = 0;
         int j = -1;
         for(int i = 0; i < gas.size() ; ++i)
         {
             sum += gas[i]-cost[i];
             total += gas[i]-cost[i];
             if(sum < 0)
             {
                 j=i; sum = 0;
             }
         }
         if(total<0) return -1;
         else return j+1;
     }
 };

程序二：

 class Solution {
 public:
     int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost)
     {
         int n = gas.size();
         int j = 0;
         for(int i=0; i<n;)
         {
             j=i;
             if(startPoint(gas, cost, j))
                 return i;
             i += j;
         }
         return -1;
     }

     bool startPoint(vector<int> &gas, vector<int> &cost, int& start)
     {
         int n = gas.size();
         int left = 0;
         int temp;
         for(int i=start; i<(n+start); i++)
         {
             temp = i%n;
             left += gas[temp]-cost[temp];
             if(left<0)
             {
                 start = i-start+1;
                 return false;
             }
         }
         return true;
     }
 };

第一种代码简单，却比较难想出来，第二种还比较好想出来吧。
我想想到底如何对付这些题目呢？尤其如果面试的时候，时间又受限，那更高难度了。

我想到的策略就是：先举些列子，观察他们的特性，然后总结出来，再设计算法吧。谁没做过，能一下子就看出其中的规律吗？

更新第二种思路的更加简洁点的代码：

 int canCompleteCircuit2(vector<int> &gas, vector<int> &cost)
     {
         for (int i = 0; i < cost.size(); )
         {
             int leftGas = 0;
             int j = 0;
             for (; j < cost.size(); j++)
             {
                 int k = (i+j)%cost.size();
                 leftGas += (gas[k] - cost[k]);
                 if (leftGas < 0) break;
             }
             if ( j == cost.size()) return i;
             i+=j+1;
         }
         return -1;
     }

 证明的时候，使用反证法会简单点。

 //2014-2-18 update
     int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost)
     {
         for (int i = 0; i < gas.size(); )
         {
             int left_gas = 0 , j = 0;
             for ( ; j < gas.size(); j++)
             {
                 int t = (i+j)%gas.size();
                 left_gas = left_gas + gas[t] - cost[t];
                 if (left_gas < 0) break;
             }
             if (j == gas.size()) return i;//错误：j=i?
             else i += j+1;//j+1，计算好下标
         }
         return -1;
     }