什麼是不變矩

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圖像的幾何不變矩  
矩特征主要表征了圖像區域的幾何特征,又稱為幾何矩， 由於其具有旋轉、平移、尺度等特性的不變特征，所以又稱其為不變矩。在圖像處理中，幾何不變矩可以作為一個重要的特征來表示物體，可以據此特征來對圖像進行分類等操作。 

1.HU矩       幾何矩是由Hu(Visual pattern recognition by moment invariants)在1962年提出的，圖像f(x，y)的(p+q)階幾何矩定義為 Mpq =∫∫(x^p)*(y^q)f(x，y)dxdy(p，q = 0，1，……∞）矩在統計學中被用來反映隨機變量的分布情況，推廣到力學中，它被用作刻畫空間物體的質量分布。同樣的道理，如果我們將圖像的灰度值看作是一個二維或三維的密度分布函數，那麼矩方法即可用於圖像分析領域並用作圖像特征的提取。最常用的，物體的零階矩表示了圖像的「質量」：Moo= ∫∫f(x，y )dxdy 一階矩(M01，M10)用於確定圖像質心( Xc，Yc)：Xc = M10/M00;Yc = M01/M00;若將坐標原點移至 Xc和 Yc處，就得到了對於圖像位移不變的中心矩。如Upq =∫∫[(x-Xc)^p]*[(y-Yc)^q]f(x，y)dxdy。Hu在文中提出了7個幾何矩的不變量，這些不變量滿足於圖像平移、伸縮和旋轉不變。如果定義Zpq=Upq/(U20 + U02)^(p+q+2)，Hu 的7種矩為：H1=Z20+Z02;H1=(Z20+Z02)^2+4Z11^2;......      

  2.Zernike矩        在模式識別中,一個重要的問題是對目標的方向性變化也能進行識別。Zernike 矩是一組正交矩,具有旋轉不變性的特性,即旋轉目標並不改變其模值。。由於Zernike 矩可以構造任意高階矩,所以Zernike 矩的識別效果優於其他方法.
Zernike 提出了一組多項式{ V nm ( x , y) } 。這組多項式在單位圓{ x2 + y2 ≦1} 內是正交的,具有如下形式: V nm ( x , y) = V nm (ρ,θ) = Rnm (ρ) exp ( jmθ) ,並且滿足   ∫∫ x^2+y^2 <= 1 [( V nm ( x , y) 的共軛]* V pq ( x , y) d x d y.      = [pi/(n+1)]*δnpδmq .
if(a==b) δab = 1 else δab = 0，n 表示正整數或是0；m是正整數或是負整數它表示滿足m的絕對值<=n 而且n-m的絕對值是偶數這兩個條件；ρ 表示原點到象素（x，y）的向量的距離；θ 表示向量ρ 跟x 軸之間的夾角（逆時針方向）.      對於一幅數字圖象,積分用求和代替,即A nm =ΣxΣy f(x,y) *[( V nm (ρ,θ) 的共軛],x^2+y^2 <=1,實際計算一幅給定圖象的Zernike 矩時,必須將圖象的重心移到坐標圓點,將圖象象素點映射到單位圓內。由以上可知,使[ V nm (ρ,θ) 的共軛]可提取圖象的特征,低頻特性由n 值小的[( V nm (ρ,θ) 的共軛]來提取,高頻特性由n 值大的來提取。Zernike 矩可以任意構造高價矩, 而高階矩包含更多的圖象信息, 所以Zernike 矩識別效果更好。,Zernike 矩僅僅具有相位的移動。它的模值保持不變。所以可以將| A nm | 作為目標的旋轉不變性特征。因為| A nm | =| A n , - m | ,所以只需計算m ≧0 的情況。