欧拉函数 因子分解 TOJ 2918 LCM Revisited---

题意

给出一个整数N (0<N<231) , 然后求出在 1-N 之间的数M 满足与N 的最小公倍数 N<LCM(M,N)<M∗N , 求满足条件的m的个数。

思路

范围比较大， 直接 求的话，肯定会超时，反向来求，只需要求出不满足条件的个数，然后用N减，即可。 很显然， 有下面两类数不满足条件：
1. 与N 互质
2. 是N的因子

接下来分别求出这两类即可。

与N互质

求比N小的与N互质的个数，可以想到用 欧拉函数。

在数论，对正整数n，欧拉函数 φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
φ(n)=n∗p1−1p1∗p2−1p2∗…∗pn−1pn , 其中 pi 是N 的质因子。这里包含 1

一般求解欧拉函数的代码：

int eular(int n)
{   
    int eul=n;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)//数字比较大，i*i 超范围，可以long long
    {
        if(n%i==0)
        {
            eul=eul/i*(i-1); //计算欧拉函数，这里i 就是质因子了
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1) eul=elu/n*(n-1);
    return eul;
}

求N的因子的个数

求因子个数可以用下面的公式：

设 N=pa11∗pa22∗…∗pann , 则N的因子个数：
f(N)=(a1+1)∗(a2+1)∗…∗(an+1)
其中 pi 是 N 的质因子。

ok，到这里两部分都已经解决了， 不过如果两个都分开求，很不幸的–TLE，
通过观察可以知道， 在用欧拉函数求互质个数，以及求N 的因子个数的时候，我们都用到了 N 的质因子。 因此我们可以考虑，提前将N
的质因子打表保存，供两个调用。而N 的上限是 231 , 最大的质因子不会超过 N−−√ 即：65536，这个复杂度还可以接受。

另外： 再求N 的质因子个的时候，还需要求出每个质因子的次数。详见代码：

代码

/*Accepted 2918 C++ 0.8K 0'00.04" */

#include <stdio.h>

//pr标记素数， p存贮质因子，num存储质因子次数。
int pr[65540],p[300],num[300],k,n;

void prim()//将65536以内的素数，打表存储
{
    pr[0]=pr[1]=pr[2]=0;
    for(int i=2;i<=65536;i++)
        if(pr[i]==0)
    {
        for(int j=i+i;j<=65536;j+=i)
            pr[j]=1;
    }
}
void factor(int n)
{
    k=0;
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)// 这里必须是longlong 否则i*i 超int
    {
        if(!pr[i]&&n%i==0)
        {//质因子
            num[k]=0;
            while(n%i==0)
            num[k]++,n/=i;
            p[k++]=i;//存储质因子
        }
    }
    if(n>1)
    {
        p[k]=n;
        num[k++]=1;
    }
}
int res()
{
    int res=n,sum=1;
    for(int i=0;i<k;i++){
        res=res/p[i]*(p[i]-1);// 欧拉函数
        sum*=(num[i]+1); // 求因子个数
    }
    return res+sum;
}

int main()
{
    prim();
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        factor(n);
        printf("%d\n",n-res()+1);// 因为两个重复包含了1， 因此需要+1
    }
}