Zoj 3529 A Game Between Alice and Bob (数学_博弈)

 

Zoj 3529 A Game Between Alice and Bob (数学_博弈)

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测试 c

题目链接:http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4464


题目大意:给定n个数,每一步都可以将某个数替换为它的因子,但不能替换为本身,两个人轮流走,直到某个人走不了他就输了。问最后谁能赢,如果先手胜输出第一步。n<=10万,每个数<=5000000.


解题思路:数论+Nim。初看起来好像无从下手,但是细想:本题要找它的因子替换他自己,那么可以从这里入手。而每个数都可以表示成x = p1^a1*p2^a2...pk^ak,pi为质数,这样每个数都由(a1+a2+..ak)个质数组成,然后就转换成若干堆质数,每次可以取走某堆的某些个质数,问最后谁取无可取。

      那不是传说中的裸Nim吗?把每堆的数量异或起来,结果为0为P态,先手负,结果非0,则先手胜,如果先手胜,必能与其中某个数异或后变成p态。若结果为ans,若每个数位a[i],则判断取走的那堆必须符合条件:temp = a[t] ^ ans,temp < a[t],这样的话a[i] ^ a[j] ^...a[t] = ans可表示成a[i] ^ a[j] ^...temp ^ ans = ans, 也就是a[i] ^ a[j] ^... ^ temp = 0。

     想A此题海必须解决一个问题,本题给的数似乎有点臃肿,怎么可以等于500万这么大?害我 TLE了好几次,最后无奈只能用个数组保存每个数最小的质因子,这样每次要确定p1^a1*p2^a2...pk^ak的ai总和时只要不断除以最小的因子直到出现不能除,n变成m,m又不断除以m的最小因子,这样反复直到值变为1.

     接着就等着AC了。


测试数据:

4
111111 333333 4444444 5000000

10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4
111111 333333 4444444 5000000

5
1 3 5 7 9

4
1 3 5 7

4
1 3 5 5

4
5 5 5 5

5
5000000 5000000 5000000 5000000 1

5
5000000 4999999 4999999 4999999 4999998

3
1 2 4

Test #1: Alice 4
Test #2: Alice 4
Test #3: Alice 4 
Test #4: Alice 5
Test #5: Alice 2
Test #6: Alice 2
Test #7: Bob
Test #8: Bob
Test #9: Alice 1
Test #10: Alice 3


C艹代码:

[cpp]  view plain copy
  1. #include <stdio.h>  
  2. #include <math.h>  
  3. #include <string.h>  
  4. #define MIN 110000  
  5. #define MAX 5000010  
  6.   
  7.   
  8. int cnt,n,ans;  
  9. int Count[MAX],arr[MIN];  
  10.   
  11.   
  12. int  pn,prime[MAX],Min_factor[MAX];  
  13. void make_prime(){  
  14.   
  15.     int i,j,x,pn = 0;  
  16.     for(i = 2; i < MAX; i++){  
  17.           
  18.         if(!Min_factor[i]) prime[pn++] = i,Min_factor[i] = i;  
  19.         for(j = 0; j < pn && prime[j] * i < MAX; j++){  
  20.               
  21.             x = prime[j] * i;  
  22.             Min_factor[x] = prime[j];  
  23.             if(i % prime[j] == 0) break;        //确保不重复计算  
  24.         }  
  25.     }  
  26. }  
  27. int solve(int n){  
  28.   
  29.     int ans = 0;  
  30.     while (n != 1){  
  31.           
  32.         int t = 0;  
  33.         int k = Min_factor[n];  
  34.         while (n % k == 0)    
  35.             n /= k,t++;  
  36.         ans += t;  
  37.     }  
  38.     return ans;  
  39. }  
  40.   
  41.   
  42.   
  43. int main()  
  44. {  
  45.     int i,j,k,cas = 0;  
  46.     make_prime();  
  47.   
  48.   
  49.     while (scanf("%d",&n) != EOF) {  
  50.   
  51.         ans = 0,Count[1] = 0;  
  52.         for (i = 1; i <= n; ++i) {  
  53.           
  54.             scanf("%d",&arr[i]);  
  55.             arr[i] = solve(arr[i]);  
  56.             ans ^= arr[i];  
  57.         }  
  58.   
  59.   
  60.         printf("Test #%d: ",++cas);  
  61.         if (ans == 0) printf("Bob\n");        //P态  
  62.         else {  
  63.   
  64.             for (i = 1; i <= n; ++i)  
  65.                 if ((ans ^ arr[i]) < arr[i]) {//N态出现这状况必可以去掉一些而变为p态  
  66.                                           
  67.                     printf("Alice %d\n",i);  
  68.                     break;  
  69.                 }  
  70.         }  
  71.     }  
  72. }  

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