无向图最小割的相关算法及其延伸

无向图最小割的相关算法及其延伸

这个题目实在太大了，因为这是一个研究了许多年发表了无数篇文章的问题，我自然也无法在短期内很好的诠释它。但为了与网上的其它文章有所区别，我打算把几个内容都揉到文章中去，但是这些都似乎在ICPC中尚无用武之地，就权当是爱好吧。 网络流算法自然是可以解决该问题，但是我们不作讨论。还有一类方法是90年代初期发展起来以缩图（Contraction algorithm）为基础的算法，目前最简单最高效的stoer-wagner算法是1997年发表的，它的主要思想如下： 定理1 对于图中任意两点s和t，它们要么属于最小割的两个不同集中，要么属于同一个集。 如果是后者，那么合并s和t后并不影响最小割。基于这么个思想，如果每次能求出图中某两点之间的最小割，然后更新答案后合并它们再继续求最小割，就得到最终答案了。 怎么完成求图中任意两点之间的最小割呢？不能借助网络流算法，否则我们说那么多就完全没有意义了。索性我们来个革命性的举动，对G做Maximal Adjacent Search，具体过程如下： 1.任选一个点s到集合A中，定义W(A, p）为A中的所有点到A外一点p的权总和； 2.对刚才选定的s，更新W(A,p)（该值递增）； 3.选出A外一点p，且W(A,p)最大的作为新的s，弱A != G(V)，则继续2。 我们把最后进入A的两点记为s和t，那么W(A,t)就是s和t的最小割的值了（后面为方便，把W(A,t)记为C）。做完这一步，就把s 、t合并了，于是图中又少了一点，然后重复，直到图中只有一个点位置，所以一共做了n – 1个phase，每做一次花费O(n^2)，所以一共是O(n^3)（当然，这个过程很象是个prim，所以对于稀疏图，可以用fibnacci堆把搞到 O( m + nlgn )，而我是假设它是一个密图）。 还是继承我一贯的风格，对于这种论文上有的东西我不会给予证明，大家可以去搜stoer-wagner算法的原文来参考。 接下来，既然已经找到s-t最小割了，那能否快速构造出以它们为源汇的最大流呢？观察到实际上上面求得的最小割就是把所有于t相连的边都割掉，也就是说这些边最后都会被充满；s-t之间的边和为c，于是先将最大流变为C = C-c，去掉这些边，再按下面的步骤来做： 1.将图中每个点v的编号映射到它进入A的名次，如t -> n，s -> n – 1； 2.把图中每条边有向化：对于边e的两端点u、v，如果u > v，那么e化为 u -> v； 3.对图中每个点v，将v的所有出边按另一个端点的编号从大到小排序； 4.把t的所有边预先充满；对s边，按照刚才排序的顺序，尽量把C分配上去； 5.算法从v = n – 2开始执行下面的过程； 6.对于v的所有入边，记Fs为进入v的流量，Ft为流出v的流量，如果Ft >= Fs，那么到7继续，否则将Fs – Ft的流量像源一样把分配到出边中； 7.v = v – 1，如果 v = 0 那么到过程结束，否则到6继续。 上面算法的证明非常巧妙，几乎就和stoer-wanger算法一样有创造性，非常值得学习。而该算法的复杂度仅仅是O(m)，所以每次求了s-t割后再附带求个最大流并不会改变算法的总复杂度，非常优秀。 在最小割算法研究中，其实Monte-Carlo 算法占了相当的比例，Karger–Stein算法是其中的代表。它与stoer-wagner算法的区别就是不作那个最大领接搜索，仅仅依赖于定理1， 每次从边集中随机选一条来合并，直到图中只有两个点为止。这样一个思路是很简单的，但它们对于该算法的正确性分析却是令人兴奋的，首先有如下定理： 定理2 任何一个图的最小割个数不超过C(n, 2)。 也就是说该算法能成功的概率是1/n^2，因此只要随机次数达到O(n^2)，成功率就相当可观了。 值得一提的是，这是随机算法中一个经典设计的案例，因为定理1最早就是由Karger提出并证明的，而后在95年提出了上面的算法，在97年它们又对该算 法做了改进（思路不复杂，但是空间耗费比较大，所以略过），而此时stoer-wagner刚刚问世（据我所知该论文94年在欧洲某会议发表了，但是97 年在ACM发表后才扩大了其影响力）。 另外，其实很多有效的方法来提高找min-cut的效率的，比如有名的PR Heuristic系列就是用来进行启发式判断，这些大家可以去网上找找。 就介绍这么多，相信本文除了提醒你有许多神奇的东西外，你是没有学到什么的，所以还是看论文吧。   （转载：http://richardxx.yo2.cn）