poj 2154 Color (polya,欧拉函数|容斥原理)
题意：
有n种颜色的珠子要串成长度为n的环，有多少种方案。
题解：
因为n很大很大，考虑优化。对于n个旋转，任意一个旋转i，他的循环节个数时gcd(n,i)，令a=gcd(n,i)发现等于a的i有多个，并且a也就是n的约数并不多，那么就可以枚举约数这样复杂度降到O(sqrt(n))已经很优秀了。
那么对于某个约数a，能使得gcd(n,i)=a的i的个数要怎么就算呢？其实这个问题可以转化成求与n/k互质的数的个数sum。那么sum的求法有两个，一是欧拉函数，二是容斥原理。
于是问题就得到结局了，但是要注意的是最后ann/n，由于n和P不一定互质，可能没有逆元，那么这样的话就无法得到答案了，其实这题所给的颜色个数是等于环的长度的，那么根据polya公式可以简化（具体见代码）.
方法一：
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define B(x) (1<<(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int64 LL;
void cmax(int& a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int& a,int b){ if(b<a)a=b; }
void cmax(ll& a,ll b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(ll& a,ll b){ if(b<a)a=b; }
void add(int& a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; }
//void add(ll& a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; }
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=1000000007;
const int maxn=1000000;
bool IsPrime[maxn];
int prime[maxn],num,mod;
int fac[maxn],cnt;
int qpow(int a,int k){
int ans=1;
a%=mod;
while(k){
if(k&1) ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
k>>=1;
}
return ans;
}
void get_prime(){
num=0;
memset(IsPrime,true,sizeof IsPrime);
IsPrime[1]=false;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!IsPrime[i])continue;
for(int j=i;j<maxn;j+=i){
IsPrime[i]=false;
}
IsPrime[i]=true;
prime[num++]=i;
}
}
void get_fac(int n){
cnt=0;
for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
fac[cnt++]=i;
if(n/i!=i)
fac[cnt++]=n/i;
}
}
}
int euler(int n){
int res=n;
for(int i=0;i<num&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){
if(n%prime[i]==0){
res=res/prime[i]*(prime[i]-1);
while(n%prime[i]==0)
n/=prime[i];
}
}
if(n>1) res=res/n*(n-1);
return res%mod;
}
int main(){
int T;
int n;
get_prime();
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d %d",&n,&mod);
get_fac(n);
int ans=0;
for(int i=0;i<cnt;i++){
add(ans,qpow(n,fac[i]-1)*euler(n/fac[i]),mod);
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
方法二：
方法1：
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define B(x) (1<<(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int64 LL;
void cmax(int& a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int& a,int b){ if(b<a)a=b; }
void cmax(ll& a,ll b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(ll& a,ll b){ if(b<a)a=b; }
void add(int& a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; }
//void add(ll& a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; }
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=1000000007;
const int maxn=1000000;
int prime_fac[maxn],p;
int fac[maxn],cnt,mod;
int qpow(int a,int k){
int ans=1;
a%=mod;
while(k){
if(k&1) ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
k>>=1;
}
return ans;
}
void get_fac(int n){
cnt=0;
for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
fac[cnt++]=i;
if(n/i!=i)
fac[cnt++]=n/i;
}
}
}
void get_prime_fac(int n){
p=0;
for(int i=2;(ll)i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
prime_fac[p++]=i;
while(n%i==0){
n/=i;
}
}
}
if(n>1&&n!=prime_fac[p-1]) prime_fac[p++]=n;
}
int dfs(int s,int x){
int res=0;
for(int i=s;i<p;i++){
res+=x/prime_fac[i]-dfs(i+1,x/prime_fac[i]);
}
return res;
}
int Count(int n){
get_prime_fac(n);
return (n-dfs(0,n))%mod;
}
int main(){
int T;
int n;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d %d",&n,&mod);
get_fac(n);
int ans=0;
for(int i=0;i<cnt;i++){
add(ans,qpow(n,fac[i]-1)*Count(n/fac[i]),mod);
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}