网络流总结（一）

一、个人心得：

今天对这些天网络流的学习做一个总结，最大流、二分图最大匹配、最小点覆盖、最小路径覆盖、最大独立集、最大点权独立集这样一路走来。其实对这些问题的熟悉仅仅只是一些皮毛而已，我比较不善于去论证和深究其中的联系，所以对这些个问题也只停留在理解的基础上，还不能很好地活学活用。建立流模型、二分图模型这点很重要，也是解题的关键，如果建立好了模型，那么问题就会迎刃而解了。

二、网络流学习中的基本定义和定理：

流网络：G = (V , E) 是一个有向图，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c (u , v) ≥ 0.s表示源点，t表示汇点。

残留网络：直观上讲，是由可以容纳更多网络流的边所组成。在不超过容量c ( u , v ) 的条件下，从u 到 v之间可以压入的额外网络流量就是(u , v) 的残余容量，可有公式定义：cf(u, v) = c(u, v) - f(u, v).

增广路经：为残留网络 Gf 中从 s 到 t 的一条简单路径。

流网络的割：流网络G = (V , E) 的割(S , T) 将V 划分为S 和 T = V - S两部分，使得s ∈ S，t ∈T。

最大流最小割定理：如果f 是具有源点 s 和 汇点 t 的流网络G = (V , E) 中的一个流，则下列条件是等价的：

1）f 是 G 的最大流

2）残留网络Gf 不含增广路经

3）对G 的某个割 (S, T) ，有 | f | = c ( S , T )

于是得出：最大流 = 最小割    //网络流的割或许是精髓，但是我好像没有理解

最小割的求解步骤：先求的最大流，再在得到最大流 f 的残余网络 Gf 中，从 s 开始深度优先遍历(DFS)，所有遍历到的点，即构成点集S。

若果想要更深入了解最小割，参见：http://wenku.baidu.com/view/986baf00b52acfc789ebc9a9.html

最大流这个博客中讲的不错：http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/04/19/80470.html

二分图最大匹配：一个匹配是一个边的子集合 M ∈ E，且满足对所有顶点 v ∈ V，M中至多有一条边与v关联。最大匹配是最大势的匹配，在所有匹配中，边的权值和最大。

题型参考：http://blog.csdn.net/lhshaoren/article/details/7752944

最小点覆盖：用最少的点，让每条边都至少和其中一个点关联。

最小点覆盖数 = 最大匹配数

证明参见：http://www.cppblog.com/abilitytao/archive/2009/09/02/95147.html

最小点权覆盖：在所有覆盖集中，权值和最小的。

最小点权覆盖 = 最小割 = 最大流

最小路径覆盖：用最少的边，使之覆盖图中所有的顶点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联。

最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

证明参见：http://baike.baidu.com/view/2444809.htm

最大点独立集：用最多的边，组成一个点集，其中所有的点都不存在匹配关系。

最大点独立集 = 顶点数 - 最大匹配数。

最大点权独立集：在所有独立集中，权值和最大的独立集。

最大点权独立集 = 权值和 - 最小点权覆盖

三、涉及到的一些算法：

Ford_Fulkerson方法：用流网络的割来描述最大流的值，Ford_Fulkerson方法是一种迭代方法，开始时，对所有u , v ∈ V 有 f (u , v) = 0，然后在每次迭代中，通过寻找一条增广路经来增加流值，得到最大流。

伪代码：

Ford_Fulkerson(G, s, t)
	for each edge(u, v) ∈ E[G]
		do f[u, v] = 0
			f[v, u] = 0
	while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
		//存在增广路经
		do cf(p) = min(cf(u, v) : (u, v) is in p)
			//找到增广路经中残余容量最小的边
		for each edge(u, v) in p
			do f[u, v] -= cf(p)
			do f[v, u] += cf(p)

Edmonds_Karp算法：广度优先搜索寻找增广路经。算法复杂度：O(V*E*E)

具体代码参见：http://blog.csdn.net/lhshaoren/article/details/7748992

dinic算法：网络流最大流的优化算法之一，每一步对原图进行分层，然后用DFS求增广路径。算法复杂度：O(V*V*E)，所以当边比较多时候比较适合使用

1、初始化流量，计算出残余网络
2、根据残余网络计算层次图，如果汇点不在层次图中，则算法结束
3、在层次图内用一次dfs过程增广
4、转步骤2

具体代码参见： http://blog.csdn.net/lhshaoren/article/details/7765901