poj 2888 Magic Bracelet (polya,矩阵)

题意：

一个n个节点的环，可以涂m中不同的颜色，但是有k对颜色是不能相邻的。现在问有多少种涂法。

题解：

这题我们枚举gcd(n,i)=k，判断有多少个i满足k统一计算，相当于求n/k的欧拉函数，对于k对颜色无法相邻的这个限制，我们将能相邻的定义成关系矩阵，这样k次幂后就能计算出对应的不懂置换的个数，接着用容斥处理欧拉函数，或者用欧拉定理求。

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<string>
#define B(x) (1<<(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
void cmax(int &a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int &a,int b){ if(b<a)a=b; }
void cmax(ll &a,ll b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(ll &a,ll b){ if(b<a)a=b; }
void add(int &a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; }
void add(ll &a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; }
void add(int &a,int b){ a+=b; }
void add(ll &a,ll b){ a+=b; }
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=9973;
const int maxn = 15;
int fac[1000000],cnt;
int prime[100000],p;

struct MAZE{
    int maze[maxn][maxn];
    int n;
	MAZE(){ n=0;}
	MAZE(int n_){ memset(maze,0,sizeof maze); n=n_; }
	MAZE operator*(const MAZE &a)const{
		MAZE b(n);
		for(int k=1;k<=n;k++){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(maze[i][k]==0)continue;
                for(int j=1;j<=n;j++){
                    b.maze[i][j]+=maze[i][k]*a.maze[k][j]%MOD;
                    if(b.maze[i][j]>=MOD)
                        b.maze[i][j]-=MOD;
                }
            }
		}
		return b;
	}
	void ONE(){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				maze[i][j]=1;
	}
};

MAZE maze_pow(MAZE a,int k){
    MAZE b(a.n);
    for(int i=1;i<=a.n;i++)b.maze[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1) b=b*a;
        a=a*a;
        k>>=1;
    }
    return b;
}


void get_fac(int n){
    cnt=0;
    for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            fac[cnt++]=i;
            if(n/i!=i)
                fac[cnt++]=n/i;
        }
    }
}

int dfs(int s,int x){
    int res=0;
    for(int i=s;i<p;i++){
        res+=x/prime[i]-dfs(i+1,x/prime[i]);
    }
    return res;
}

int Count(int n){
    p=0;
    int m=n;
    for(int i=2;(ll)i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            prime[p++]=i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1&&prime[p-1]!=n)prime[p++]=n;
    return (m-dfs(0,m))%MOD;
}

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}

int main(){
	int T,n,m,k,u,v;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
		MAZE ans(m),a(m);
		a.ONE();
		for(int i=1;i<=k;i++){
			scanf("%d %d",&u,&v);
			a.maze[u][v]=a.maze[v][u]=0;
		}
		get_fac(n);
		ll res=0;
		for(int i=0;i<cnt;i++){
		    ll temp=0;
            ans=maze_pow(a,fac[i]);
            for(int i=1;i<=m;i++){
                temp+=ans.maze[i][i];
                if(temp>=MOD)
                    temp-=MOD;
            }
            res+=temp*Count(n/fac[i]);
            if(res>=MOD)
                res-=MOD;
		}
		int x=0,y=0;
		ex_gcd(n,MOD,x,y);
		x=(x%MOD+MOD)%MOD;
		cout<<res*x%MOD<<endl;
	}
    return 0;
}