动态规划专题小结：四边形不等式优化

今天第一次学习四边形不等式优化dp，感觉优化效果十分给力，不过数学味道比较浓重，证明比较复杂。因此这里删繁就简，给出关于四边形不等式优化必须要明白的地方，以后直接套用条件即可。

四边形不等式优化条件

在动态规划中，经常遇到形如下式的转台转移方程：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j)（min也可以改为max）

上述的m(i,j)表示区间[i,j]上的某个最优值。w(i,j)表示在转移时需要额外付出的代价。该方程的时间复杂度为O(N^3)。

下面我们通过四边形不等式来优化上述方程，首先介绍什么是”区间包含的单调性“和”四边形不等式“

（1）区间包含的单调性：如果对于i≤i'<j≤j'，有w(i',j)≤w(i,j')，那么说明w具有区间包含的单调性。（可以形象理解为如果小区间包含于大区间中，那么小区间的w值不超过大区间的w值）

（2）四边形不等式：如果对于i≤i'<j≤j'，有w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j')，我们称函数w满足四边形不等式。（可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和）

下面给出两个定理

定理一：如果上述的w函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数m也满足四边形不等式性质。

我们再定义s(i,j)表示m(i,j)取得最优值时对应的下标（即i≤k≤j时，k处的w值最大，则s(i,j)=k）。此时有如下定理

定理二：假如m(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。

好了，有了上述的两个定理后，我们发现如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原来的状态转移方程可以改写为下式：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改为max）

由于这个状态转移方程枚举的是区间长度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的长度为L-1，是之间已经计算过的，可以直接调用。不仅如此，区间的长度最多有n个，对于固定的长度L，不同的状态也有n个，故时间复杂度为O(N^2)，而原来的时间复杂度为O(N^3)，实现了优化！今后只需要根据方程的形式以及w函数是否满足两条性质即可考虑使用四边形不等式来优化了。