转载-二分查找(附感悟)

二分查找是我们很多人初次接触的算法之一。思想可以说非常简单，但是实际上写起来会有很多问题，出现死循环、找不到解等。这里根据这几天对网上找到资料，写写自己的感悟和技巧。

网上有许多人利用循环不变量条件来写二分查找及其变体。并且证明了代码的正确性。下面来说说循环不变量。

循环不变量

循环不变量包括三个部分——初始、保持、终止。类似于数学归纳法，我们保证代码在初始时的正确性，然后证明保持的正确性，在代码终止时，仍然是正确的，那么就可以保证算法整个运行过程的正确性。

例如：

           二分查找值为key的下标，如果不存在返回-1。
循环不变式：
如果key存在于原始数组[0,n-1]，那么它一定在[left,right]中。
初始化：
第一轮循环开始之前，处理的数组就是原始数组，这时显然成立。
保持：
每次循环开始前，key存在于待处理数组array[left, ..., right]中。
对于array[mid]<key，array[left, ..., mid]均小于key，key只可能存在于array[mid+1, ..., right]中；
对于array[mid]>key，array[mid, ..., right]均大于key，key只可能存在于array[left, ..., mid-1]中；
对于array[mid]==key，查找到了key对应的下标，直接返回。
在前两种情况中，数组长度每次至少减少1（实际减少的长度分别是mid-left+1和right-mid+1），直到由1（left==right）变为0（left>right），不会发生死循环。
终止：
结束时，left>right，待处理数组为空，表示key不存在于所有步骤的待处理数组，再结合每一步排除的部分数组中也不可能有key，因此key不存在于原数组。

/* binsearch 寻找key下标，不存在 return -1 */

/* binsearch 注意点【找不到 vs 死循环】
 * 1. left <= right 如改为 left < right 可能找不到key
 *    例如 1 2 3 4 5；key=5; left==right时候才搜到key
 * 2. left = mid + 1;
 *    如上left改为=mid，可能死循环，例如上面例子，
 *    当left指向4时候，right指向5，此时，死循环；
 *    死循环的根本原因在于left，当两个指针left与right相邻
 *    left可能永远等于mid，而right不会因为等于mid死循环
 */
int binsearch(int * arr, int lef, int rig, int key)
{
    if(!arr)    return -1;
    int left = lef, right = rig;
    while(left <= right)
    {
        int mid = left + ((right-left)>>1);
        if(arr[mid] < key)
        {
            left = mid + 1;
        }else if(arr[mid] > key)
        {
            right = mid - 1;
        }else
            return mid;
    }
    return -1;
}

/* binsearch_min 返回key(可能有重复)第一次出现的下标，如无return -1
 *
 * binsearch_min 注意点【死循环】
 * 1. 如果while(left < right)改为(left <= right)可能死循环；
 * 2. 循环结束条件，left == right
 *
 * 该代码我测试了很多用例，没发现反例，我认为是对的
 * 但网上都是用的left<right-1的条件并分别对arr[left]和arr[right]
 * 进行检查；我认为我写的更简练，希望有兴趣的读者帮忙review这段代码
 * 如发现反例指出错误，感激不尽，嘿
 */
int binsearch_min(int * arr, int lef, int rig, int key)
{
    if(!arr)    return -1;
    int left = lef, right = rig;
    while(left < right)
    {
        int mid = left + ((right-left)>>1);
        if(arr[mid] < key)
        {
            left = mid+1;
        }else
        {
            right = mid;
        }
    }
    if(arr[left] == key)    return left;
    return -1;
}

/* binsearch_max 返回key(可能有重复)最后一次出现的下标，如无return -1
 *
 * binsearch_max 注意点【死循环 vs 越过目标位置】
 * 1. 如果改为while(left < right)可能死循环；
 * 2. 如果left=mid改为left=mid+1；则有可能越过目标位置
 * 3. 循环结束条件，left == right || left == right -1
 *
 * 如非要死记：找最大的等号放<=key的位置，找最小的等号放>=key位置
 */
int binsearch_max(int * arr, int lef, int rig, int key)
{
    if(!arr)    return -1;
    int left = lef, right = rig;
    while(left < right -1)
    {
        int mid = left + ((right-left)>>1);
        if(arr[mid] <= key)
        {
            left = mid;
        }else
        {
            right = mid;
        }
    }
    if(arr[right] == key) // 找max，先判断right
    {
        return right;
    }else if(arr[left] == key)
    {
        return left;
    }else
        return -1;
}

/* binsearch_justsmall 返回刚好小于key的元素下标，如无return -1
 *
 * binsearch_justsmall 注意点【死循环 vs 越过目标位置】
 * 1. 如果改为while(left < right)可能死循环；因为left=mid的缘故
 * 2. 如果left=mid改为left=mid+1；则有可能越过目标位置
 * 3. 循环结束条件，left == right || left == right -1
 */
int binsearch_justsmall(int * arr, int lef, int rig, int key)
{
    if(!arr)    return -1;
    int left = lef, right = rig;
    while(left < right - 1)
    {
        int mid = left + ((right-left)>>1);
        if(arr[mid] < key)
        {
            left = mid;
        }else
        {
            right = mid - 1;
        }
    }
    if(arr[right] < key) // 找刚好小于，先判断right
    {
        return right;
    }else if(arr[left] < key)
    {
        return left;
    }else
        return -1;
}

/* binsearch_justgreat 返回刚好大于key的元素下标，如无return -1
 *
 * binsearch_justgreat 注意点【死循环 vs 检查元素是否大于key】
 * 1. 如果改为while(left <= right)可能死循环；因为right = mid；
 * 2. 最后注意检查arr[right]是否大于key
 * 3. 循环结束条件，left == right
 */
int binsearch_justgreat(int * arr, int lef, int rig, int key)
{
    if(!arr)    return -1;
    int left = lef, right = rig;
    while(left < right)
    {
        int mid = left + ((right-left)>>1);
        if(arr[mid] <= key)
        {
            left = mid + 1;
        }else
        {
            right = mid;
        }
    }
    if(arr[right] > key) return right;
    return -1;
}

参考资料

http://www.cr173.com/html/20428_1.html
http://www.ahathinking.com/archives/179.html