机器学习/CNN系列小问题（1）：逻辑回归和神经网络之间有什么关系？

本文讨论的关键词：Logistic Regression（逻辑回归）、Neural Networks（神经网络）

之前在学习LR和NN的时候，一直对它们独立学习思考，就简单当做是机器学习中的两个不同的models，从来没有放在一起观察过，最近通过阅读网络资料，才发现，原来LR和NN之间是有一定的联系的，了解它们之间的联系后，可以更好地理解

Logistic Regression（逻辑回归）和Neural Networks（神经网络）

• Logistic Ｒegression：典型的二值分类器，用来处理两类分类问题，当然，也可以用来处理多类问题，但要转换为One-vs-All或者是One-vs-One问题；Andrew Ng的机器学习课程中有对此的详细介绍
  
  • 专门用来进行多类分类问题的多维逻辑回归器为：
    Softmax regression / multinomial Ｌogistic Ｒegression；
  • 虽然逻辑回归器有许多的kernelized variants，但standard model（即最原始的LR）是一个线性分类器，主要用来处理数据集为more or less线性可分的情况；
• Neural Networks：神经网络，由多个神经元构造，可以有多个输入、多个输出

Logistic Regression（逻辑回归）和Neural Networks（神经网络）之间到底有什么关系呢？

Logistic Ｒegression

Basically, we can think of logistic regression as a one layer neural network.

实际上，可以将Logistic Regression看做是仅含有一个神经元的单层的神经网络！

• 下面以图例的方式给出了Logistic Regression的结构，该图清晰地展示了Logistic Regression的结构
  
  图中的Activation function为sigmoid function（也称为logistic activation functions），该激活函数的示意图如下：
  
• 从该图中可以看到，LR结构图的前半部分（不包含step function的部分，如下图红框所示）其实就是一个简单的神经元模型（关于神经网络的介绍见下文）
  
• 上图中绿色框中的部分为LR的threshold function（这里使用了step function），用来对前面激活函数的输出进行相应的阈值处理，从而实现两类分类问题（例如，threshold function函数输出为0时，对应类1，threshold function函数输出为1时，对应类2）

Softmax regression

Softmax regression其实是多维的Logistic regression，它其实可以看做是单层多个神经元的神经网络！

下图给出了softmax regression的基本结构，可以看到，其实，softmax regression可以看做是含有k个神经元的一层神经网络，

这里应该注意到：

• 如果仅仅是要进行类别的预测，那么，只需要计算到sigma即可，不需要再求后面的softmax函数（上图所示的函数，注意，它与logistic regression中用到的sigmoid函数是不同的）
• 使用softmax函数，只是为了使输出具有概率意义，并且，有利于利用训练集去学习网络的权值；也可以这样理解，其实，softmax function只是在train的时候比较有用，利用它学习完网络参数后，在做predict的时候，其实就不需要它了（因为它是增函数）
  
  

神经网络的激活函数

神经元对应的激活函数
在神经网络中，神经元的激活函数多用sigmoid function，上面提到的logistic regression也用到了该函数，但实际上，另外一个激活函数：tanh函数的效果要比sigmoid函数好些，因为tanh函数并不会将神经元的输出局限于大于0，tanh的函数输出值区间为[-1,1]
tanh = the hyperbolic tangent

仍考虑具有sigmoid fucntion的神经元：logistic regression的一个优点是logistic cost fucntion (or max-entropy) 是一个凸函数，可以求得全局最小值。

关于神经网络的代价函数

但是，对于神经网络而言，由于它将多个sigmoid function连接在一起了，这种凸函数的性质将不存在了。对于仅含有一个权值的多层神经网络（认为其他权值都为已知），它的cost function也具有非常崎岖的性质，如下图所示，可以看到，该cost function具有多个局部最小值

实际应用中，对于仅含有一个或者两个隐藏层的神经网络而言，它的cost function虽然是非凸的，但是利用误差反向传播算法，可以得到还不错的效果，虽然可能得到的是个局部极小值（a local minima），但分类效果还是不错的。