台湾国立大学机器学习基石.听课笔记（第五讲）： 训练和测试有什么不同

Lecture 5: Training versus Testing

一、Recap and Preview（复习和预览）

基于统计的学习流程：

• ---》如果备选函数集的大小|H|=M，M有限，训练数据量N足够大，则对于学习算法A选择的任意备选函数h，都有  E-out(h)≈E-in(h)
• ---》如果A找到了一个备选函数，使得E-in(h)≈0，则有很大概率E-out(h)≈0 ---》学习是可能的
  

可以讲，机器学习有两个核心问题：

1.  我们能否保证E-out(h)与E-in(h)足够接近？
2.  我们能否使E-in(h)足够小？
   

对于M→∞的情况，能否把它reduce到有限，是这一讲将要讨论的问题。

最重要的是公式：

（1） 假设空间H有限（M），且训练数据足够大，则可以保证测试错误率Eout 约等于训练错误率Ein；
（2）如果能得到Ein 接近于零，根据（1），Eout 趋向于零。
以上两条保证的学习的可能性。

可知，假设空间H 的大小M 至关重要，我们接下来会力求找一个H 大小的上界。
M存在重要的trade-off 思想：
（1）当M 很小，那么坏数据出现的概率非常小（见第四讲分析），学习是有效的；但是由于假设空间过小，我们不一定能找到一个方案，可以使训练误差接近零；
（2）反之，若M 很大，坏数据出现的概率会变大。
若假设空间无限大（比如感知机），学习一定是无效的吗？这门在下面力图回答这个问题。

假设空间H 大小：M.根据上面的公式，当M 无限大时是无法有效学习的；主要是我们在计算M 是通过UNION BOUND 的方式，这样得到的上界太宽松了；实际上，由于不同假设下发生坏事情是有很多重叠的，其实我们可以得到比M小得多的上界。

二、Effective Number of Lines（有效线的数量）

回顾一下霍夫丁不等式的推导：在训练数据集D上，有一个不好的备选函数h使得

只要有一个h不好，就可以认为这个H与D的搭配是不好的

为了让A能够自由选择，我们要求这个坏事件的发生概率必须小于某一个可以接受的值，考虑最坏的情况，利用Union Bound 获得上述概率的上限

从而得到的霍夫丁不等式。

这里Union Bound所代表的情况只有在M个事件没有交集的时候才发生。因此Union Bound过于高估了坏事件发生概率的上限。

具体来说，假如有两个相似的备选函数h1≈h2 ,则h1与h2在D上几乎是同好或同坏的，或曰B1与B2高度相关，P[B1]与P[B2]可以合并，但Union Bound却将他们相加了。解决过分估计的问题，可以将备选函数集分类，相似的函数分在一起。以二元分类问题为例，备选函数集为:

其中有无数条线。

1). 当只有一个输入时，这些线可以被分成两类(第一类，输出为○；第二类，输出为×。)。

2).输入变成2个,显然有4种划分。

3). 输入变成3个,可以有8种划分。

也可能只有6种。

此时3个输入共线。所以3个输入情况下最多8种划分；

4). 输入变成4个,最多14种划分。

综上，N个输入下线性划分的最大个数即线性划分有效数（Effective Number of Lines），这里可以理解成有效划分。由于是二分类问题，线性划分有效数一定 ≤ 2^N，我们希望：

1. 用线性划分有效数代替M，从而将无限reduce到有限；

2. 线性划分有效数 << 2^N，从而坏事件的发生概率上限不至于随着N的增大而指数增长。

三、Effective Number of Hypotheses（假设函数的有效值）

备选函数集中的每一个函数h都是输入X到输出Y的一个映射：

就包括了所有对D的dichotomies（）。

定义成长函数（Growth Function）为：

即成长函数是在N个输入上dichotomies的最大数量。举个例子，平面二元分类，输入为3时，如果3个点共线，有6个划分，如果3个点不共线也不重合，有8个划分，所以此时成长函数值为8。

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Positive Ray

输入（x1,x2,...,xN）分布在实数轴上，确定一个分割点a，大于a的输出+1，小于a的输出-1。

显然，有N个输入，实数轴被分成N+1段，Positive Ray的成长函数为

此时N+1 << 2^N （N is large）。

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Positive Interval

输入（x1,x2,...,xN）分布在实数轴上，确定一个范围[ l, r )，在范围内的输出+1，其他输出-1。

N个输入，实数轴被分成N+1段，从其中任选两段构成一个interval，或两端落在同一段中，Positive Interval的成长函数为

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Convex Set - 凸集

顾名思义，划分区域必须是凸的。左图蓝色区域是凸集，右图则不是。

凸集的成长函数长什么样？

假设N个输入（x1, x2, ..., xN）在2维空间中刚好位于一个圆上，给定任意一种dichotomy，总能找出一个凸集刚好包含了所有+1的点，并将-1的点排斥在外。

即 ,此时我们已经找到了

的上限，从而不必关心N个输入不在一个圆上的情况。我们可以说：

四、Break Point（切断点）

在霍夫丁不等式中，用成长函数代替M：

如果成长函数是指数函数，则随着N的增大，概率上限也急剧增加，所以我们希望成长函数是多项式。

回顾下上一小节的4个成长函数：

Positive Ray和Positive Interval的成长函数是多项式，而Convex Set的成长函数是指数函数。那2D-PLA的成长函数是多项式吗？

为了回答这个问题，引入一个新概念 - Break Point。

定义：第一次出现m_H(k) < 2^k的点。

有k个输入，如果它不能被当前的备选函数集H shatter，那么k就是H的一个Break Point。

或者说对于任意k个输入，H都无法穷尽所有可能的划分。

这里讨论的Break Point指的是minimum break point k，也就是第一个被shatter的N。

对于2D-PLA，break point k = 4。

而Break Point 与成长函数的成长性到底有什么关系？

首先我们能确定，对于二元分类问题，如果一个H没有break point，给定任意N，一定能找到N个输入，H能穷尽它的所有划分，此时：

如果 break point = k 从上图可以猜测：

如果猜测成立，那么只要N足够大，训练结果的正确性就有保障了~~~