数据结构 — 图的概述

一、基础知识

1、欧拉闭迹：每个顶点的度均为偶数，才可能存在从任意顶点出发，经过所有边恰好一次，并最终回到出发顶点的走法。

2、定义：图G = （V，E）由有穷非空集合V（G）-> 顶点（vertex） 和 有穷允空集合E（G） -> 边（edge）构成。

3、分类：无向图 ->（v0，v1）和（v1，v0）表示同一条边，有向图 ->（v0，v1）表示顶点v0为尾，顶点v1为头的边，即v0指向v1。

4、概念：

1）限制：（1）不能有自身环 （2）同一条边在图中不能出现两次或者两次以上即多重图

2）完全图：具有边数最多的图，对于n个顶点的无向图，边数为 n*（n-1）/2；对于n个顶点的有向图，边数为n（n-1）。

3）边（v0，v1）与v0和v1关联；边（v0，v1）、（v0，v2）和（v0，v3）关联于 v0。

4）简单路径：路径上除了起点和终点可能相同外，其余顶点都互不相同。环路（回路）是起点和终点相同的简单路径。

5）连通分支，即分支，无向图中的极大连通子图；有向图G每对不同的顶点vi和vj，都存在vi到vj 以及vj到vi的有向路径则为强连通；强连通分支是有向图的极大强连通子图。

6）顶点的度（degree）是关联与该顶点的边的条数；入度（in-degree）定义为  箭头指向v的边数；出度（out-degree）相反；

7)   边（edge）带权值（weight）的图成为网络（network）。

二、图的存储（之后要写几个示例，这里用文字简单说说）

（1）邻接矩阵 （2）邻接表（适合稀疏图）(3)逆邻接表（方便求顶点的度）（4）邻接多重表（方便找到第二顶点和标记扫过的边）

三、图的连通性

1、连通

在无向图G中，v0 与 v1 之间存在一条路径，称v0 与 v1 是连通的；G为无向图，所以必然存在一条v0到v1的路径；当任意两个节点vi 与 vj之间都存在一条路径，则称无向图G是连通的。

2、连通分支

在无向图G中，一个极大连通子图则称为无向图G的连通子图。

3、强连通

在有向图G中，任意两个节点vi与 vj之间 可以任意到达（vi -> vj 或 vj ->vi）则称该有向图G是强连通的。

4、强连通分支

强连通分支时有向图的极大强连通子图。

5、关节点

在图G中，存在节点v ，当删除该节点以及关联在该节点上的所有边后，得到的图G’至少包含两个连通分支，那么该节点v 则成为图G 的关节点。

6、双连通图

双连通图是没有关节点的连通图。

7、双连通分支

在图G中一个最大的双连通子图。

8、求解图的双连通分支的思路

1）最大的双连通子图 -> 双连通图 -> 关节点

2）如果顶点v是深度优先生成树的根结点，且v至少有两个儿子，则v为关节点；如果v 不是生成树的根节点，那么当且仅当v有个儿子w，使得low（w）>= dfn（v），则v为关节点。

注释：

dfn（v）：深度优先编号，在深度优先搜索过程中被访问的顺序。

low（v）：从v 出发，经过一条由w形成的路径 和 一条回退边所能到达的具有最小深度优先编号的  顶点的编号。（说白了就是，他儿子节点能回到的最小深度优先编号，如果比他大，说明该点是关键点）