二叉树

二叉树的基本概念

关于二叉树有一点需要注意：二叉树并不是树的一种特殊形式，二叉树时有序树。

二叉树又有几种特殊的形式：最优二叉树（哈弗曼树）、二叉判定树、二叉排序树（二叉查找树）、二叉堆


哈弗曼树
哈弗曼树的特点就是带权路径长度最小，因此还叫最优二叉树。

【哈夫曼树的构造】
         根据哈弗曼树的定义，一棵二叉树要使其WPL值最小，必须使权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点。算法如下：
        假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；

(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

例如：

         WPL = 7*1+5*2+2*3+4*3

二分查找判定树

       原理：对于有序的查找表，可采用折半查找，因为查找表中的元素是有序的，我们可以先确定待查元素所在查找表中的范围，然后逐步缩小查找范围直到找到或找不到为止。

算法实现：

int SearchBin(int arr[],int key){
		int low=0;
		int high=arr.length;
		while(low<high){
			int mid=(low+high)/2;
			if(arr[mid]==key) return mid;
			else if(arr[mid]>key) high=mid-1;
			else low=mid+1;
		}
	}

      折半查找每进行一次比较，元素下次查找的范围将缩小为原来的一半，因此查找长度不会超过logn +1（也是树的深度），即运行时间最坏情况是O(logn)。

二叉排序树

又称“二叉查找树”、“二叉搜索树”。或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树： 

1、若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 

2、若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 

3、左、右子树也分别为二叉排序树；

       二叉排序树通常采用二叉链表作为存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个依据关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即是对无序序列进行排序的过程。二叉判定树就是一棵二叉排序树。

        查找性能介于O(logn)，O(n)（数列有序，树退化成线性表，如右斜树）。

平衡树

平衡二叉树又称AVL树。它或者是颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1、它的左子树和右子树都是平衡二叉树，

2、左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

       若将二叉树节点的平衡因子BF定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能为-1,0,1.只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，那么这颗平衡二叉树就失去了平衡。

红黑树

       红黑树，一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。
       通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

红黑树的5个性质：

每个结点要么是红的要么是黑的。

根结点是黑的。

如果一个结点是红的，那么它的两个儿子都是黑的。

对于任意结点而言，其到叶结点树尾端NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑结点。

每个叶结点（叶结点即指树尾端NIL指针或NULL结点）都是黑的。

         正是红黑树的这5条性质，使一棵n个结点的红黑树始终保持了logn的高度，从而也就解释了上面所说的“红黑树的查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)”这一结论成立的原因。

二叉堆

       二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

       二叉堆是一种优先队列的数据结构，具有2种性质：结构性质和堆序性。这里讨论都基于最小二叉堆，这种二叉堆对最小元素的访问非常高效。
       二叉堆的ADT操作主要包括Insert（插入）和DeleteMin（删除最小元）。       

【结构性质】

      堆是一棵完全二叉树（若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 都被填满，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边），如下图。

（1）因为完全二叉树很有规律，因此可以用一个数组而不需要用指针存储；

（2）对于数组中任一位置i处的元素，其左儿子在位置2*i上，右儿子在2*i+1上。也正因为这样，我们可以很方便的不用指针而只用数组就能访问左右儿子。    

【堆序性】

       由于我们想快速的找到最小元，因此最小元应在根上。我们可以以O(1)时间找到最小值。
堆序性指，在一个堆中，每一个节点X，X父亲中的关键字小于（或等于）X中的关键字，根节点除外（因为没有父亲）。

       分类：小顶堆和大顶堆：

       对于序列{k1，k2，....，kn} 有ki<=k2i且ki<=k(2i+1) 即根节点小于任意一个孩子节点，称为小顶堆 ki>=k2i且ki>=k(2i+1) 即根节点大于任意一个孩子节点，称为大顶堆。