[蓝桥杯历届题目] 正六面体染色 ; 取字母组成串

1. 正六面体染色

正六面体用4种颜色染色。

共有多少种不同的染色样式?

要考虑六面体可以任意旋转、翻转。

 

参考答案:

240

解答:

Burnside引理,正方体涂色问题

(n^6 + 3*n^4 + 12*n^3 + 8*n^2)/24  

把n=4d带入公式就行了。

 

2.  取字母组成串

A B C D中取5次,每个字母都可以重复取出,形成一个串。

现在要求,串中A出现的次数必须为偶数(0次也算偶数)。

求可以形成多少种可能的串。

参考答案:

528

代码:

#include <iostream>
using namespace std;
char a[4]={'A','B','C','D'};
int main()
{
    int total=0,an=0;//an为一个串中出现‘A’的个数
    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=0;j<4;j++)
            for(int k=0;k<4;k++)
                for(int m=0;m<4;m++)
                    for(int n=0;n<4;n++)
                    {
                        if(a[i]=='A')
                            an++;
                        if(a[j]=='A')
                            an++;
                        if(a[k]=='A')
                            an++;
                        if(a[m]=='A')
                            an++;
                        if(a[n]=='A')
                            an++;
                        if(an%2==0)
                            total++;
                        an=0;
                    }
    cout<<total<<endl;
    return 0;
}


 数学思想: 3^5+C(5,2)*3^2+C(5,4)*3

分三种情况

A取0次的时候。    有 3的5次方种方法, 每一次都在B,C,D三个中选择,每一次都有三种选择

A取2次的时候。   有 C(5,2)*3的3次方 种方法,五次中选2次取的是A,然后剩下三次在B,C,D中选择,每一次都有3种选择。

A取4次的时候。 有 C(5,4)*3种方法,五次中选4次取的是A,然后剩下的一次在B,C,D中选择,有3中选择。

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