简单易学的机器学习算法——Metropolis-Hastings算法

在简单易学的机器学习算法——马尔可夫链蒙特卡罗方法MCMC中简单介绍了马尔可夫链蒙特卡罗MCMC方法的基本原理，介绍了Metropolis采样算法的基本过程，这一部分，主要介绍Metropolis-Hastings采样算法，Metropolis-Hastings采样算法也是基于MCMC的采样算法，是Metropolis采样算法的推广形式。

一、Metropolis-Hastings算法的基本原理

1、Metropolis-Hastings算法的基本原理

与Metropolis采样算法类似，假设需要从目标概率密度函数 p(θ) 中进行采样，同时， θ 满足 −∞<θ<∞ 。Metropolis-Hastings采样算法根据马尔可夫链去生成一个序列：

θ(1)→θ(2)→⋯θ(t)→

其中， θ(t) 表示的是马尔可夫链在第 t 代时的状态。

在Metropolis-Hastings采样算法的过程中，首先初始化状态值 θ(1) ，然后利用一个已知的分布 q(θ∣θ(t−1)) 生成一个新的候选状态 θ(∗) ，随后根据一定的概率选择接受这个新值，或者拒绝这个新值，与Metropolis采样算法不同的是，在Metropolis-Hastings采样算法中，概率为：

α=min⎛⎝⎜1,p(θ(∗))p(θ(t−1))q(θ(t−1)∣θ(∗))q(θ(∗)∣θ(t−1))⎞⎠⎟

这样的过程一直持续到采样过程的收敛，当收敛以后，样本 θ(t) 即为目标分布 p(θ) 中的样本。

2、Metropolis-Hastings采样算法的流程

基于以上的分析，可以总结出如下的Metropolis-Hastings采样算法的流程：

• 初始化时间 t=1
• 设置 u 的值，并初始化初始状态 θ(t)=u
• 重复以下的过程：
  
  • 令 t=t+1
  • 从已知分布 q(θ∣θ(t−1)) 中生成一个候选状态 θ(∗)
  • 计算接受的概率： α=min(1,p(θ(∗))p(θ(t−1))q(θ(t−1)∣θ(∗))q(θ(∗)∣θ(t−1)))
  • 从均匀分布 Uniform(0,1) 生成一个随机值 a
  • 如果 a⩽α ，接受新生成的值： θ(t)=θ(∗) ；否则： θ(t)=θ(t−1)
• 直到 t=T

3、Metropolis-Hastings采样算法的解释

与Metropolis采样算法类似，要证明Metropolis-Hastings采样算法的正确性，最重要的是要证明构造的马尔可夫过程满足如上的细致平稳条件，即：

π(i)Pi,j=π(j)Pj,i

对于上面所述的过程，分布为 p(θ) ，从状态 i 转移到状态 j 的转移概率为：

Pi,j=αi,j⋅Qi,j

其中， Qi,j 为上述已知的分布， Qi,j 为：

Qi,j=q(θ(j)∣θ(i))

在Metropolis-Hastings采样算法中，并不要求像Metropolis采样算法中的已知分布为对称的。

接下来，需要证明在Metropolis-Hastings采样算法中构造的马尔可夫链满足细致平稳条件。

p(θ(i))Pi,j=p(θ(i))⋅αi,j⋅Qi,j=p(θ(i))⋅min⎧⎩⎨⎪⎪1,p(θ(j))p(θ(i))q(θ(i)∣θ(j))q(θ(j)∣θ(i))⎫⎭⎬⎪⎪⋅q(θ(j)∣θ(i))=min{p(θ(i))q(θ(j)∣θ(i)),p(θ(j))q(θ(i)∣θ(j))}=p(θ(j))⋅min⎧⎩⎨⎪⎪p(θ(i))p(θ(j))q(θ(j)∣θ(i))q(θ(i)∣θ(j)),1⎫⎭⎬⎪⎪⋅q(θ(i)∣θ(j))=p(θ(j))⋅αj,i⋅Qj,i=p(θ(j))Pj,i

因此，通过以上的方法构造出来的马尔可夫链是满足细致平稳条件的。

4、实验1

如前文的Metropolis采样算法，假设需要从柯西分布中采样数据，我们利用Metropolis-Hastings采样算法来生成样本，其中，柯西分布的概率密度函数为：

f(θ)=1π(1+θ2)

那么，根据上述的Metropolis-Hastings采样算法的流程，接受概率 α 的值为：

α=min⎛⎝⎜⎜1,1+[θ(t)]21+[θ(∗)]2q(θ(t)∣θ(∗))q(θ(∗)∣θ(t))⎞⎠⎟⎟

若已知的分布符合条件独立性，则

q(θ(t)∣θ(∗))q(θ(∗)∣θ(t))=1

此时，与Metropolis采样算法一致。

二、多变量分布的采样

上述的过程中，都是针对的是单变量分布的采样，对于多变量的采样，Metropolis-Hastings采样算法通常有以下的两种策略：

• Blockwise Metropolis-Hastings采样
• Componentwise Metropolis-Hastings采样

1、Blockwise Metropolis-Hastings采样

对于BlockWise Metropolis-Hastings采样算法，在选择已知分布时，需要选择与目标分布具有相同维度的分布。针对上述的更新策略，在BlockWise Metropolis-Hastings采样算法中采用的是向量的更新策略，即： Θ=(θ1,θ2,⋯,θN) 。因此，算法流程为：

• 初始化时间 t=1
• 设置 u 的值，并初始化初始状态 Θ(t)=u
• 重复以下的过程：
  
  • 令 t=t+1
  • 从已知分布 q(Θ∣Θ(t−1)) 中生成一个候选状态 Θ(∗)
  • 计算接受的概率： α=min(1,p(Θ(∗))p(Θ(t−1))q(Θ(t−1)∣Θ(∗))q(Θ(∗)∣Θ(t−1)))
  • 从均匀分布 Uniform(0,1) 生成一个随机值 a
  • 如果 a⩽α ，接受新生成的值： Θ(t)=Θ(∗) ；否则： Θ(t)=Θ(t−1)
• 直到 t=T

2、Componentwise Metropolis-Hastings采样

对于上述的BlockWise Metropolis-Hastings采样算法，有时很难找到与所要采样的分布具有相同维度的分布，因此可以采用Componentwise Metropolis-Hastings采样，该采样算法每次针对一维进行采样，其已知分布可以采用单变量的分布，算法流程为：

• 初始化时间 t=1
• 设置 u=(u1,u2,⋯,uN) 的值，并初始化初始状态 Θ(t)=u
• 重复以下的过程：
  
  • 令 t=t+1
  • 对每一维： i=1,2,⋯N
    
    • 从已知分布 q(θi∣θ(t−1)i) 中生成一个候选状态 θ(∗)i ，假设没有更新之前的整个向量为： Θ(t−1)=(θ(t−1)1,⋯,θ(t−1)i,⋯,θ(t−1)N) ，更新之后的向量为： Θ=(θ(t−1)1,⋯,θ(∗)i,⋯,θ(t−1)N)
    • 计算接受的概率： α=min(1,p(Θ)p(Θ(t−1))q(θ(t−1)i∣θ(∗)i)q(θ(∗)i∣θ(t−1)i))
    • 从均匀分布 Uniform(0,1) 生成一个随机值 a
    • 如果 a⩽α ，接受新生成的值： θ(t)i=θ(∗)i ；否则： θ(t)i=θ(t−1)i
• 直到 t=T

3、实验

假设希望从二元指数分布：

p(θ1,θ2)=exp(−(λ1+λ)θ1−(λ2+λ)θ2−λmax(θ1,θ2))

中进行采样，其中，假设 θ1 和 θ2 在区间 [0,8] ， λ1=0.5 ， λ2=0.1 ， λ=0.01 ， max(θ1,θ2)=8 。

3.1、Blockwise

实验代码

''' Date:20160703 @author: zhaozhiyong '''
import random
import math
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

def bivexp(theta1, theta2):
    lam1 = 0.5
    lam2 = 0.1
    lam = 0.01
    maxval = 8
    y = math.exp(-(lam1 + lam) * theta1 - (lam2 + lam) * theta2 - lam * maxval)
    return y

T = 5000
sigma = 1
thetamin = 0
thetamax = 8
theta_1 = [0.0] * (T + 1)
theta_2 = [0.0] * (T + 1)
theta_1[0] = random.uniform(thetamin, thetamax)
theta_2[0] = random.uniform(thetamin, thetamax)

t = 0
while t < T:
    t = t + 1
    theta_star_0 = random.uniform(thetamin, thetamax)
    theta_star_1 = random.uniform(thetamin, thetamax)
    # print theta_star
    alpha = min(1, (bivexp(theta_star_0, theta_star_1) / bivexp(theta_1[t - 1], theta_2[t - 1])))

    u = random.uniform(0, 1)
    if u <= alpha:
        theta_1[t] = theta_star_0
        theta_2[t] = theta_star_1
    else:
        theta_1[t] = theta_1[t - 1]
        theta_2[t] = theta_2[t - 1]
plt.figure(1)
ax1 = plt.subplot(211)
ax2 = plt.subplot(212)        
plt.ylim(thetamin, thetamax)
plt.sca(ax1)
plt.plot(range(T + 1), theta_1, 'g-', label="0")
plt.sca(ax2)
plt.plot(range(T + 1), theta_2, 'r-', label="1")
plt.show()

plt.figure(2)
ax1 = plt.subplot(211)
ax2 = plt.subplot(212)        
num_bins = 50
plt.sca(ax1)
plt.hist(theta_1, num_bins, normed=1, facecolor='green', alpha=0.5)
plt.title('Histogram')
plt.sca(ax2)
plt.hist(theta_2, num_bins, normed=1, facecolor='red', alpha=0.5)
plt.title('Histogram')
plt.show()

实验结果

3.2、Componentwise

实验代码

''' Date:20160703 @author: zhaozhiyong '''
import random
import math
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

def bivexp(theta1, theta2):
    lam1 = 0.5
    lam2 = 0.1
    lam = 0.01
    maxval = 8
    y = math.exp(-(lam1 + lam) * theta1 - (lam2 + lam) * theta2 - lam * maxval)
    return y

T = 5000
sigma = 1
thetamin = 0
thetamax = 8
theta_1 = [0.0] * (T + 1)
theta_2 = [0.0] * (T + 1)
theta_1[0] = random.uniform(thetamin, thetamax)
theta_2[0] = random.uniform(thetamin, thetamax)

t = 0
while t < T:
    t = t + 1
    # step 1
    theta_star_1 = random.uniform(thetamin, thetamax)
    alpha = min(1, (bivexp(theta_star_1, theta_2[t - 1]) / bivexp(theta_1[t - 1], theta_2[t - 1])))

    u = random.uniform(0, 1)
    if u <= alpha:
        theta_1[t] = theta_star_1
    else:
        theta_1[t] = theta_1[t - 1]

    # step 2
    theta_star_2 = random.uniform(thetamin, thetamax)
    alpha = min(1, (bivexp(theta_1[t], theta_star_2) / bivexp(theta_1[t], theta_2[t - 1])))
    u = random.uniform(0, 1)
    if u <= alpha:
        theta_2[t] = theta_star_2
    else:
        theta_2[t] = theta_2[t - 1]

plt.figure(1)
ax1 = plt.subplot(211)
ax2 = plt.subplot(212)        
plt.ylim(thetamin, thetamax)
plt.sca(ax1)
plt.plot(range(T + 1), theta_1, 'g-', label="0")
plt.sca(ax2)
plt.plot(range(T + 1), theta_2, 'r-', label="1")
plt.show()

plt.figure(2)
ax1 = plt.subplot(211)
ax2 = plt.subplot(212)        
num_bins = 50
plt.sca(ax1)
plt.hist(theta_1, num_bins, normed=1, facecolor='green', alpha=0.5)
plt.title('Histogram')
plt.sca(ax2)
plt.hist(theta_2, num_bins, normed=1, facecolor='red', alpha=0.5)
plt.title('Histogram')
plt.show()

实验结果