数论总结与代码
一.素数打表：
1.平常打表：
for(i=2;i<=n;i++)
if(!s[i])
{
for(j=2*i;j<=n;j+=i)
s[j]=1;
} 2.线性打表：
void get_prime()
{
int cnt = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if (!tag[i])
p[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && p[j] * i < N; j++)
{
tag[i*p[j]] = 1;
if (i % p[j] == 0)
break;
}
}
}
1.欧几里得：
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
2.扩展欧几里得：
//求整数x和y，使得ax+by=d，且|x|+|y|最小。其中d=gcd(a,b)
void extend_gcd(int a,int b,int &d,ll &x,ll &y)
{
if(!b) d=a,x=1,y=0;
else {extend_gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
三.快速幂取模：
//求a^b%n
ll mod(ll a,ll b,int n)
{
if(b==0) return 1;
ll ans=mod(a,b/2,n);
ans=ans*ans%n;
if(b&1) ans=ans*a%n;
return ans;
}
四.欧拉phi函数：
欧拉函数phi(n)等于不超过n且和n互素的整数个数。 互素：两个数的最大公约数为1的数称为互素数。
1.单个欧拉函数求法代码：
int euler_phi(int n)
{
int m=sqrt(n+0.5),ans=n;
for(int i=2;i<=m;i++)
if(n%i==0)
{
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0) n/=i;
}
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}2.函数表：多个欧拉函数一起求，类似筛选法计算phi(1),phi(2),……phi(n).
int phi[MM]
void phi_table(int n)
{
mem(phi,0); phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(!phi[i])
for(int j=i;j<=n;j+=i)
{
if(!phi[j]) phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
五.乘法逆：
在n的同余类中的两个数a和b满足ab=1,比如在15的同余类中7*13=1，在这种情况下，说a和b互为乘法的逆。即7的逆的13，13的逆为7；如果知道a就可以求b，知道b也就可以求a。代码如下：
1.用扩展欧几里得求：
//计算模n下a的逆。如果不存在逆，返回-1
int inv(int a,int n)
{
int d,x,y;
extend_gcd(a,n,d,x,y); //扩展欧几里得函数
return d==1?(x+n)%n:-1;
}
2.利用欧拉定理求：
//a的逆就是mod(a,n-2,n)
ll mod(ll a,ll n-2,int n)
{
if(b==0) return 1;
ll ans=mod(a,b/2,n);
ans=ans*ans%n;
if(b&1) ans=ans*a%n;
return ans;
}
1.线性模方程：axºb(mod n)
给a线性模方程：ax
ºb(mod n)。求出x,因为x有多个解，所以代码也有多个解。把其化成ax-ny=b，d=gcd(a,n)不是b的约数时无解，否则两边同时除以d……即利用扩展欧几里得求解。
//返回0时不存在解，为1有解
int mod_gcd(int a,int b,int n)
{
int x,y,d,x0,i;
extend_gcd(a,n,d,x,y);
if(b%d) return 0;
x0=x*(b/d)%n;
for(i=1;i<d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return 1;
}
2.费马小定理：a^(p-1) ≡1（mod p）
费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。
即：假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
3.中国剩余定理：xºai(mod mi)
如果线性模方程有多个，xºai(mod mi)该怎么做呢？这里就可以用中国剩余定理了。令M为所有mi的乘积，则在模M的剩余系下原方程组有唯一解。
但是用中国剩余定理的条件是mi之间是两两互质的数：
//n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
ll china(int n,int *a,int *m)
{
ll M=1,d,y,x=0;
for(int i=0;i<n;i++)
M*=m[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{
ll w=M/m[i];
gcd(m[i],w,d,d,y);
x=(x+y*w*a[i])%M;
}
return (x+M)%M;
}
如果mi不是两两互质的数，那该怎么办呢？那就得要扩展欧几里得算法把两个等式合并成一个了，然后继续下去求了……（POJ 2891)
ll gcd(ll a,ll b)
{
ll t=(!b?a:gcd(b,a%b)); //记忆递归省点时间
return t;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b) {x=1;y=0;return;}
exgcd(b,a%b,y,x); //这里用记忆化递归时间还是一样的，所以不用
y-=a/b*x;
}
int main()
{
ll i,k,a1,r1,a2,r2,c,x,y,l,t;
while(cin>>k)
{
int flag=0;
cin>>a1>>r1;
for(i=1;i<k;i++)
{
cin>>a2>>r2;
if(flag) continue;
c=r2-r1;
l=gcd(a1,a2);
if(c%l!=0) {flag=1;continue;}
exgcd(a1,a2,x,y);
t=a2/l;
x=((c/l*x)%t+t)%t;
r1+=a1*x;
a1*=t;
}
if(flag) cout<<-1<<endl;
else cout<<r1<<endl;
}
return 0;
}
4.高次同余模方程求解：a^x ºb(mod n)
利用欧拉定理求解模方程，当n为素数时，解模方程a^xºb(mod n)。根据欧拉定理，只需检查x=0,1,2,……,n-1是不是解即可因为a^(n-1)º1(mod n),当x超过n-1时a^x就开始循环了。
//求解模方程a^xb(mod n)。n为素数。无解返回0
int log_mod(int a,int b,int n)
{
int m,v,e=1,i;
m=sqrt(n+0.5);
v=inv(mod(a,m,n),n);
map<int,int>x;
x[1]=0;
for(i=1;i<m;i++)
{
e=e*a%n;
if(!x.count(e)) x[e]=i;
}
for(i=0;i<m;i++)
{
if(x.count(b)) return i*m+x[b];
b=b*v%n;
}
return 0;
}
哈希法的高次同余方程模板：优点快速，代码少。
#define MOD 76543
int hs[MOD],head[MOD],next[MOD],id[MOD],top;
void insert(int x,int y)
{
int k = x%MOD;
hs[top] = x, id[top] = y, next[top] = head[k], head[k] = top++;
}
int find(int x)
{
int k = x%MOD;
for(int i = head[k]; i != -1; i = next[i])
if(hs[i] == x)
return id[i];
return -1;
}
int BSGS(int a,int b,int n) //a^L=b(mod n) 求L
{
memset(head,-1,sizeof(head));
top = 1;
if(b == 1)return 0;
int m = sqrt(n*1.0), j;
long long x = 1, p = 1;
for(int i = 0; i < m; ++i, p = p*a%n)insert(p*b%n,i);
for(long long i = m; ; i += m)
{
if( (j = find(x = x*p%n)) != -1 )return i-j;
if(i > n)break;
}
return -1; //L不存在的情况
}
还有就是算法经典入门里的模板，用的是map<int,int>x，缺点：太慢，而且代码又多！在POJ 2417上TLE了。
void extend_gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
if(!b) d=a,x=1,y=0;
else {extend_gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
ll mod(ll a,ll b,ll n)
{
if(b==0) return 1;
ll ans=mod(a,b/2,n);
ans=ans*ans%n;
if(b&1) ans=ans*a%n;
return ans;
}
ll inv(ll a,ll n)
{
ll d,x,y;
extend_gcd(a,n,d,x,y); //扩展欧几里得函数
return d==1?(x+n)%n:-1;
}
ll log_mod(ll a,ll b,ll n)
{
ll m,v,e=1,i;
m=sqrt(n+0.5);
v=inv(mod(a,m,n),n);
map<int,int>x;
x[1]=0;
for(i=1;i<m;i++)
{
e=e*a%n;
if(!x.count(e)) x[e]=i;
}
for(i=0;i<m;i++)
{
if(x.count(b)) return i*m+x[b];
b=b*v%n;
}
return -1;
}
七.Lucas定理：
A、B是非负整数，p是质数。A B写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) mod p同余
即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)
求大组合数取模：C(n,m)%p，大组合数取模。
ll fac[100003];
void init(ll p)
{
fac[0] = 1;
for (int i=1; i<=p; i++) fac[i] = fac[i-1]*i%p;
}
ll PowerMod(ll a, ll b, ll k)
{
ll tmp = a, ret = 1;
while (b)
{
if (b & 1) ret = ret * tmp % k;
tmp = tmp * tmp % k;
b >>= 1;
}
return ret;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
ll ret = 1;
while (n && m)
{
ll nn = n%p, mm = m%p;
if (nn < mm) return 0;
ret = ret*fac[nn]*PowerMod(fac[mm]*fac[nn-mm]%p, p-2, p)%p;
n /= p;
m /= p;
}
return ret;
}
八.指数循环节：
即求：a[0]^a[1]^……^a[n]的值，比如：2^4^3^5=2。
//求a[0]^a[1]^……^a[n]%m的值（指数循环节）
LL a[20],n,m;
LL euler(LL n)
{
LL m=(LL)sqrt(n+0.5);
LL ans=n;
for(LL i=2; i<=m; i++)
if(n%i==0)
{
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0)n/=i;
}
if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
LL pmod(LL a,LL n,LL m)
{
LL now = 1;
for(LL i=0; i<n; i++)
{
now *= a;
if(now>=m) break;
}
if(now >= m) now = m;
else now=0;
if(n==0)return 1;
LL x=pmod(a,n/2,m);
LL ans=(LL)x*x%m;
if(n%2==1) ans=ans*a%m;
return ans+now;
}
LL solve(LL cur,LL n,LL m)
{
if(cur==n-1)
{
if(a[cur]>=m)
return a[cur]%m+m;
else
return a[cur];
}
LL M=euler(m);
LL p=solve(cur+1,n,M);
LL ans=pmod(a[cur],p,m);
return ans;
}
//输出的是solve(0,n,m)%m
九.高斯消元法：
//要求系数矩阵可逆
//这里的A是增广矩阵，即A[i][n]是第i个方程右边的常数bi。
//运行结束后A[i][n]是第i个未知数的值
typedef double Matrix[MM][MM];
void gauss(Matrix A,int n)
{
int i,j,k,r;
//消元过程
for(i=0;i<n;i++)
{
//选一行r并与第i交换
r=i;
for(j=i+1;j<n;j++)
if(fabs(A[i][j])>fabs(A[r][i])) r=j;
if(r!=i)
{
for(j=0;j<=n;j++)
swap(A[r][j],A[i][j]);
}
//与第i+1~n行进行消元
for(j=n;j>=i;j--)
for(k=i+1;k<n;k++)
A[k][j]-=A[k][i]/A[i][i]*A[i][j];
}
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
for(j=i+1;j<n;j++)
A[i][n]-=A[j][n]*A[i][j];
A[i][n]/=A[i][i];
}
}
十.大素数判断Miller_Rabin 算法：
判断的句子是：if(Is_Prime(n)) cout<<"YES"<<endl;
const int TIMES=200; //判断次数可以减少，但是越多，判断数组的准确率越高
long long Gcd(long long a,long long b)
{
if(b==0)
{
return a;
}
else
{
return Gcd(b,a%b);
}
}
long long Cheng_Mod(long long a,long long x,long long p)
{
long long Ret=0,s=a;
while(x>0)
{
if(x%2==1)
{
Ret=(Ret+s)%p;
}
s=(s+s)%p;
x/=2;
}
return Ret;
}
long long Mult_Mod(long long a,long long x,long long p)
{
long long Ret=1,s=a;
while(x>0)
{
if(x%2==1)
{
Ret=Cheng_Mod(Ret,s,p);
}
s=Cheng_Mod(s,s,p);
x/=2;
}
return Ret;
}
bool Is_Prime(long long p)
{
if(p==1)
{
return 0;
}
if(p<=3)
{
return 1;
}
int i,j;
long long b=0,m=p-1,d=p-1,x;
while(m%2==0)
{
b++;
m/=2;
}
for(i=1; i<=TIMES; i++)
{
x=rand()%(p-3)+2;
d=Mult_Mod(x,m,p);
if(d==1||d==p-1)
{
continue;
}
for(j=1; j<=b; j++)
{
d=Cheng_Mod(d,d,p);
if(d==1)
{
return 0;
}
if(d==p-1)
{
break;
}
}
if(d!=p-1)
{
return 0;
}
}
return 1;
}