重拾拓展欧几里得 & 简单不定方程

过一段时间不用拓展欧几里得就把代码忘了，这是没有深入理解的恶果啊。写下一文，回忆回忆基础而重要的拓展欧几里得

拓展欧几里得函数 ex_gcd() 可以用于求解逆元，不定方程，同余式（随便也能把模与被模数的最大公约数求出来）。

贴上代码：

void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        d=a; x=1; y=0;
        return ;
    }
    ex_gcd(b,a%b,d,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

工作原理：

例如：number=225 mod=21

辗转相减：

225-21*10=15

21-15*1=6

15-6*2=3

6-3*2=0

最大公约数即是： 3

求解225模21的逆元：

当ex_gcd()递归终止时，两个数字的最大公约数被找到，两个数字化简后进行下面的回溯运算：

X是上一次的Y，Y是上一次的X减去(a/b)和上一次Y的乘积。

得到的x就是相关逆元（两个数字互质时的逆元）

75*3=225%7=1

中间值：

18435915192532888 225 21

18435915192532888 21 15

18435915192532888 15 6

18435915192532888 6 3

18435915192532888 3 0

3 0 1 6 3

3 1 -2 15 6

3 -2 3 21 15

3 3 -32 225 21

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.391 s

Press any key to continue.

关于实验的代码：

void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){
    cout<<d<<" "<<a<<" "<<b<<endl;
    if(b==0){
        d=a;  x=1;   y=0;
        return ;
    }
    ex_gcd(b,a%b,d,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    cout<<d<<" "<<x<<" "<<y<<" "<<a<<" "<<b<<endl;
}
int main()
{
    LL d,x,y;
    ex_gcd(225,21,d,x,y);
    return 0;
}

ex_gcd()在求解逆元和方面就不说了，下面聊一聊它在不定方程上的应用：
关于不定方程：

当然，实际写程序中更方便的做法是： 在用拓展欧几里得时直接带入x0,y0就行，最后X0=c/d*x0   Y0=c/d*y0

相关例题：

POJ 2142  The Balance

http://poj.org/problem?id=2142

大意：ax+by=c  求出x和y的绝对值，且|x|+|y| min，|ax|+|by| min

分析：利用ex_gcd()求得一组解x0,y0，得出通解的表达式：x=x0-Bt    y=y0+At  

|x|+|y|=|x0-Bt|+|y0+At|    

将最开始的a,b设成a<b（不是就交换)——注意这很重要

这可以保证ex_gcd()得出的结果是x0<0，y0>0。即 小负大正

于是，我们有：  |x0-Bt|是一个凹函数（t<0 and t>=0）

|y0+At| 是一个增函数

且因为B=b/d   A=a/d  所以较小的速度大于增大的速率。所以整体是一个凹函数。而那个凹点就是使得x0-Bt=0的t值。求出它并在其周围几个点枚举一下就能得到答案。（距离设为2能AC，但是设为1就不行了  T_T）

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        d=a; x=1; y=0;
        return ;
    }
    ex_gcd(b,a%b,d,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
LL abs(LL a){
    return a<0?-a:a;
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    LL a,b,c;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)){
        if(a==0&&b==0&&c==0) break;
        bool sp=0;
        if(a>b){
            sp=1;
            a=a^b;   b=a^b;   a=a^b;
        }
        LL d,x0,y0;
        ex_gcd(a,b,d,x0,y0);
        x0=x0*(c/d);
        y0=y0*(c/d);
        LL t=x0*d/b,Min=0x3f3f3f3f,Min2=0x3f3f3f3f;
        LL ans1,ans2;
        for(int i=t-2;i<t+2;i++){
            LL get=abs(x0-b/d*i)+abs(y0+a/d*i);
            if(Min>get){
                ans1=x0-b/d*i;
                ans2=y0+a/d*i;
                Min=get;
                Min2=a*ans1+b*ans2;
            }
            else if(Min==get){
                LL all=abs(a*(x0-b/d*i))+abs(b*(y0+a/d*i));
                if(all<Min2){
                    Min2=all;
                    ans1=x0-b/d*i;
                    ans2=y0+a/d*i;
                }
            }
        }
        if(sp) {  ans1=ans1^ans2;  ans2=ans1^ans2;  ans1=ans1^ans2;  }
        printf("%lld %lld\n",abs(ans1),abs(ans2));
    }
    return 0;
}

SGU 106 The equation

http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=106

大意：求解方程ax+by+c=0在[x1,x2], [y1,y2]内解的个数。

相关知识：

拓展欧几里的求解不定方程：ax+by=c
假设x1<=x2,  y1<=y2

当a=0，b=0时，如果c=0 解的个数是：（x2-x1+1)(y2-y1+1) ; 如果c!=0，解的个数是0

当 a=0 ， b!=0时，如果c%b=0，且-c/ b在y的要求范围内，那么解的个数是x2-x1+1 ;  如果c%b! = 0，或 -c/b不 在y的要求范围内，那么解的个数是0

当 a! =0，b =0时 过程类似。

当a!=0,b!=0,进入不定方程的解决程序：

方程转化成 ax+by=-c

拓展欧几里的a,b参数是正整数，所以将其进行相应的设置。

if(a<0)  [x1,x2] --> [-x2,x1]

if(b<0)  [y1,y2] --> [-y2,y1]

分开讨论：

x1, y1 确定下界

x2, y2 确定上界

图变成这个样子了：

所以，这样确定上下界：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        d=a; x=1; y=0;
        return ;
    }
    ex_gcd(b,a%b,d,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    LL a,b,c;
    LL x1,x2,y1,y2;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)){
        scanf("%lld%lld",&x1,&x2);
        scanf("%lld%lld",&y1,&y2);
        if(b==0){
            if(a!=0){
                if(c%a==0&&(-c/a)<=x2&&(-c/a)>=x1) { //one x but name y
                    printf("%lld\n",y2-y1+1);
                }
                else puts("0");
            }
            else {
                 LL ans=(x2-x1+1LL)*(y2-y1+1);
                 if(c==0)printf("%lld\n",ans);
                 else puts("0");
            }
        }
        else if(a==0){
            if(b!=0){
                if(c%b==0&&(-c/b)<=y2&&(-c/b)>=y1) { //one y but many x
                    printf("%lld\n",x2-x1+1);
                }
                else puts("0");
            }
            else {
                 LL ans=(y2-y1+1LL)*(x2-x1+1);
                 if(c==0)printf("%lld\n",ans);
                 else puts("0");
            }
        }

        else {
            c=-c;
            if(c<0){  c=-c; a=-a; b=-b; }
            if(a<0) {  a=-a; LL t=x1; x1=-x2; x2=-t; }
            if(b<0) {  b=-b; LL t=y1; y1=-y2; y2=-t; }
            LL d,x,y;
            ex_gcd(a,b,d,x,y);
            if(c%d){
                puts("0");  continue;
            }
            a/=d;  b/=d;  c/=d;
            x=x*c;  y=y*c;
            LL l=max(ceil((y-y2)*1.0/a),ceil((x1-x)*1.0/b));
            LL r=min(floor((y-y1)*1.0/a),floor((x2-x)*1.0/b));
            if(r<l) puts("0");
            else printf("%lld\n",r-l+1);
        }
    }
    return 0;
}