gcd & lcm

欧几里得算法计算两数最大公约数和最小公倍数是常遇到的问题。现在写几个问题来回顾一下它的应用。
hdu 1222 wolf and rabbit （gcd）
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1222

大意：给定长度n，wolf从0开始捕捉兔子，下一点是k%n，再下一点是2k%n，3k%n……问，有没有点是wolf不能访问到的。
可以发现，只有wolf一次移动的距离和总的长度的最大公约数是1，所有的点才都能被遍历。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL gcd(LL a, LL b){
   return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    LL T,m,n;
    while(cin>>T){
        while(T--){
            LL f;
            scanf("%lld%lld",&m,&n);
            if(gcd(m,n)==1){
                printf("NO\n");
            }
            else printf("YES\n");
        }
    }
    return 0;
}

poj 2773 Happy 2006
题目：http://poj.org/problem?id=2773
大意：给定m，求出第k个和m互质的数字。
由于m (1 <= m <= 1000000), K (1 <= K <= 100000000)，所以求出第k个互质数字要考虑到一种压缩方法，不要一个一个的暴力判断。
【曾经的思路：对于k的判断，可以用欧拉函数断定其范围，如果kth primer[k<=phi(m)]在m之内，则可以用fac[k]直接输出[m内,可以用素因子排除不互质的数字]。超出m的范围则直接用gcd() 或 素因子判断即可。但是这样TLE了。想用euler数组加二分，但是MLE。-_-怎么办？】
欧几里得算法含有的信息：gcd（b×t+a，b）=gcd（a，b）  （t为任意整数）
则如果a与b互素，则b×t+a与b也一定互素，如果a与b不互素，则b×t+a与b也一定不互素，故与m互素的数对m取模具有周期性。由此一来就可解决K较大时的情况。得到的信息：设m范围内的素数有k个，数字n对应至少有互质数n/m*k。当n是k的倍数时，对应的互质数：m*(n/k-1)+fac[k]. 当其不是倍数关系：n/k*m+fac[n%k]

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5;
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int fac[maxn],top;
int main(){
    int m,n;
    while(cin>>m>>n){
        top=0;
        for(int i=1;i<=m;i++){ //m可能等于1.所以要写<=
            if(gcd(m,i)==1) fac[++top]=i;
        }
        LL ans;
        if(n%top==0) ans=m*(n/top-1)+fac[top];
        else ans=m*(n/top)+fac[n%top];
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

zoj 1577 GCD & LCM
题目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1577

GCD & LCM

Time Limit: 2 Seconds      Memory Limit: 65536 KB

Given x and y (2 <= x <= 100,000, 2 <= y <= 1,000,000), you are to count the number of p and q such that:

1) p and q are positive integers;

2) GCD(p, q) = x;

3) LCM(p, q) = y.

Input

x and y, one line for each test.

Output

Number of pairs of p and q.

Sample Input

3 60

Sample Output

4

分析：GCD(p, q) = x; --> GCD(p/x,q/x)=1;
LCM(p, q) = y. --> LCM(p/x,q/x)=(p*q/x^2)/gcd(p/x,q/x)=p*q/x^2=y/x
设p/x,q/x分别是t1,t2. 有gcd(t1,t2)=1;  t1*t2=y/x=w  现在问题转换成寻找有多少对t1,t2互质且乘积就是w.
于是对w素因子分解，设w对应的因子展开式是(1+q1+q1^2+……+q1^n1)(1+q2+q2^2+……+q2^n2）……(1+qk+qk^2+……+qk^nk)，那么互质的两个乘积因子情况：qi^ni的组合数，即C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+……+C(n,n)=2^n。【不可能是qi^nj，其中0<nj<ni，那样的话就不互质了】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int fac[1010],top;
void resolve(int a){
    top=0;
    for(int i=2;i*i<=a;i++){
        if(a%i==0){
            fac[top++]=i;
            while(a%i==0) a/=i;
        }
    }
    if(a>1) fac[top++]=a;
}
int power(int p){
    int ans=1,temp=2;
    while(p){
        if(p&1) ans=ans*temp;
        temp=temp*temp;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int x,y;
    while(cin>>x>>y){
        if(y%x){  printf("0\n");  continue; }
        int w=y/x;
        resolve(w);
        printf("%d\n",power(top));
    }
    return 0;
}

hdu 1019 Least Common Multiple
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1019
分析：单纯的求多个数字的最大公倍数。对的，没有别的陷阱。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int a[10000];
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int t,m;
    cin>>t;
    while(t--){
        int g,ans=1;
        scanf("%d%d",&m,&a[0]);
        ans=a[0];
        for(int i=1;i<m;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            g=gcd(ans,a[i]);
            ans=ans/g*a[i];
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}