斐波那契数列:1,2,3,5,8,13......
齐肯多夫定理:任何正整数都可以唯一地表示成若干个不连续的斐波那契数之和。
首先,存在性。
在上面的百科链接里面,有数学归纳法的证明。
然后,唯一性。
可以用反证法加上无穷递降法证明出来。
假设n是最小的有2种表示法的整数,其中一种表示中,最大的数是a,另外一种表述中,最大的数是b。
这里需要一个简单的结论:
引理:如果m是斐波那契数,那么不超过m的所有斐波那契数中,选出若干个不连续的,能够得到的最大的和刚好就是m-1
比如说,在1,2,3,5,8,里面,最大的和就是1+3+8=12,刚好是13-1。
无论m是第奇数个斐波那契数,还是第偶数个,都是一样的,证明很简单,略。
所以,根据这个引理,a和b只能相等。
因为这是2种不同的表示法,所以n一定要比a大。
那么n-a就有2种不同的表示法,即将上面的2个不同的表示法里面删掉相同的数a、b,得到的自然是不同的表示法。
这个,n-a小于n,与n的最小性矛盾!
所以,表示法是唯一的。
在斐波那契博弈里面,用的就是这个定理。
详情:HDU - 2516 取石子游戏(斐波那契)