前几天看了刘老师关于母函数的课件,顺便找几个题目来热热身.看了1059的题目以后,很快我就把他和母函数联系起来了,于是就动手写了程序,没想到提交就wa掉了,后来发现是在多项式计算的地方出现了问题.后来一个师姐看我做这个题目,她也去动手做了起来.她用的是贪心的思想,开始问她是怎么做的时候,wa想的巧,可是后来验证这种想法是错误,这里贪心保证了局部最优,但是不是全局最优.但是给我的启发还是不小的,我们面队一个问题,要善于从不同的角度去分析他,解决他.同时要多多同他人交流,这样才能更好的提高自己.
对母函数做法修改好了,却发现超时.毕竟数据好大.无奈之下,我另劈方法,联想到硬币问题的dp解法,顿时豁然开朗,终于ac了.但是所要的时间还是挺多的,后来看看别人的论坛发现还有很多可以优化的地方,看来算法的魅力真是无穷的啊!
结论 对于任意一种珠宝的个数n，如果n>=8, 可以将n改写为 11（n为奇数） 或 12（n为偶数）。
证明：
对于任意一组数，6的个数为n(n>=8)
一、如果可以分成两堆，我们可以分成两种情况：
1.
两堆里都有6，那么我们可知：把n改为n-2，仍然可分。
(两堆各减一个6)
2. 只有一堆里有6，设为左边，那么左边的总和不小于6*8=48。
我们观察，5*6=6*5 ，4*3=6*2 ， 3*2=6 ， 2*3=6 ， 1*6=6
而 5*5 + 4*2 + 3*1 + 2*2 + 1*5 = 25 + 8 + 3 + 4 + 5 = 45 < 48
由抽屉原理右边必然存在
(多于5个的5 或者 多于2个的4 或者 多于1个的3
或者 多于2个的2 或者 多于5个的1)
即右边至少存在一组数的和等于若干个6，比如右边有3个4，这样把左边的2个6与右边的3个4交换，则又出现左右都有6的情况。 根据1，我们还是可以把n改为n-2且可分的状态不变。
综合1，2。我们可以看出只要原来n的个数=8,我们就可以把它改为n-2，这样操作一直进行到n<8。我们可以得出结论，对于大于等于8的偶数，可以换成6。
对于大于8的奇数，可以换成7。换完之后仍然可分。
二、如果不能分成两堆：
显然改为n-2时同样也不能分，那么对于大于等于8的偶数，可以换成6；对于大于8的奇数，可以换成7。换完之后仍然不可分。
综合一、二，我们得出结论把不小于8的偶数改为8，大于8的奇数改为7，原来可分与否的性质不会改变。
以上是对6的讨论，同样的方法可以推出
5的个数 6*4 + 4*4 + 3*4 + 2*4 + 1*4 = 64 < 5*13
即5的个数多于12时，偶数换为12，奇数换为11
4的个数 6*1 + 5*3 + 3*3 + 2*1 + 1*3 = 35 < 4*9
即4的个数多于8时，偶数换为8，奇数换为7
3的个数 5*2 + 4*2 + 2*2 + 1*2 = 24 < 3*9
即3的个数多于8时，偶数换为8，奇数换为7
2的个数 5*1 + 3*1 + 1*1 = 9 < 2*5
即2的个数多于4时，偶数换为4，奇数换为3
1的个数 多于5则必然可分(在总数是偶数的前提下)
综上所述,
对于任意一种珠宝的个数n，如果n>=8, 可以将n改写为 11（n为奇数） 或 12（n为偶数）。
进一步分析：
对每个数（1-6），以上只是粗略的估计，可以进一步减少其最大有效取值，例如，
对于6，5*5 + 4*2 + 3*1 + 2*2 + 1*5 = 25 + 8 + 3 + 4 + 5 = 45
就有4和2不能同时出现，5和1不能同时出现，3个5和1个3不能同时出现，4个5不能和1个4同时出现等等，所以组合不出6的整数倍的情况的总价值至多为25，所以当6的个数大于6时，奇数可改为5，偶数可改为6。
1-5 也有类似情况。
为了得出精确值，下面先我们讨论这样一个数论命题。
命题：
可重复的从自然数集中取出n个数（n>=2)，其中必有若干个数之和能被n整除。
证明：设取出的n个自然数为a1,a2,a3,.....an
考虑这样的n+1个数 0, a1, a1+a2 , a1+a2+a3 , ...... , a1+a2+a3+...+an， 由于自然数模n的剩余类有n个，所以以上n+1个数中必有两个同余。 这两个数的差必被n整除，而且这两个数的差就是原来的n个数中的一些数的和。
这就证明了命题。
由以上命题
对于6而言，我们至多从{1，2，3，4，5}中可重复的找出5个数使它们不能组合成6的倍数。
所以这些数的和小于等于5*5=25
对于5而言，我们至多从{1，2，3，4，6}中可重复的找出4个数使它们不能组合成5的倍数。
所以这些数的和小于等于6*4=24
对于4而言，我们至多从{1，2，3，5，6}中可重复的找出3个数使它们不能组合成4的倍数。
所以这些数的和小于等于3*6=18 ， 然而，两个6就是4的倍数， 所以最多有一个6
此时不能有两个5（2*5+6=16是4的倍数）， 最多才6 + 5 + 3 = 14 < 3*5 =15
所以这些数的和小于等于3*5=15
对于3而言，我们至多从{1，2，4，5，6}中可重复的找出2个数使它们不能组合成3的倍数。
所以这些数的和小于等于2*5=10
（6就是3的倍数，所以不能取6）
对于2而言，我们至多从{1，3，4，5，6}中可重复的找出1个数使它们不能组合成6的倍数。
所以这些数的和小于等于1*5=5
考虑到 4*6 < 25 < 5*6 , 我们可以算出6的最大有效个数为5 。
考虑到 4*5 < 24 < 5*5 , 我们可以算出5的最大有效个数为5 。但是其实应该修正为6， 如果遇到如下特殊情况，左边5个6，右边6个5。此时虽然左右可以交换，但是交换后仍然只有一边有5，与（一、2）中讨论情况不符。
考虑到 3*4 < 15 < 4*4 , 我们可以算出5的最大有效个数为4 。但是其实应该修正为5， 如果遇到如下特殊情况，左边4个5，右边5个4。此时虽然左右可以交换，但是交换后仍然只有一边有4，与（一、2）中讨论情况不符。
考虑到 3*3 < 10 < 4*3 , 我们可以算出5的最大有效个数为4 。但是其实应该修正为5， 如果遇到如下特殊情况，左边3个5，右边5个3。此时虽然左右可以交换，但是交换后仍然只有一边有3，与（一、2）中讨论情况不符。
考虑到 2*2 < 5 < 3*2 , 我们可以算出5的最大有效个数为3 。 但是其实应该修正为4，如果遇到如下特殊情况，左边1个3和1个5，右边4个2。此时虽然左右可以交换，但是交换后仍然只有一边有2，与（一、2）中讨论情况不符。
我们得出最后的精确结论：
奇数改为 偶数改为
6的个数大于5 5 4
5的个数大于6 5 6
4的个数大于5 5 4
3的个数大于5 5 4
2的个数大于4 3 4
优化后的代码：
#include
<
iostream
>
using
namespace
std;
long
n[
6
];
long
sum;
const
long
MAX_N
=
60000
;
int
dividable()
{
int
f[MAX_N];
for
(
int
i
=
0
; i
<=
sum; i
++
)
f[i]
=
0
;
f[
0
]
=
1
;
for
(
int
i
=
0
; i
<
6
; i
++
)
{
for
(
int
j
=
1
; j
<=
n[i]; j
++
)
{
int
base
=
j
*
(i
+
1
);
if
(
base
>
sum)
break
;
for
(
int
k
=
sum
-
(i
+
1
); k
>=
base
-
i
-
1
; k
--
)
if
(f[k])
f[k
+
i
+
1
]
=
1
;
if
(f[sum])
return
1
;
}
}
return
f[sum];
}
int
main()
{
long
cases
=
0
;
while
(
true
)
{
sum
=
0
;
for
(
long
i
=
0
; i
<
6
; i
++
)
{
cin
>>
n[i];
}
if
(n[
5
]
>
5
) n[
5
]
=
4
+
n[
5
]
%
2
;
if
(n[
4
]
>
6
) n[
4
]
=
6
-
n[
4
]
%
2
;
if
(n[
3
]
>
5
) n[
3
]
=
4
+
n[
3
]
%
2
;
if
(n[
2
]
>
5
) n[
2
]
=
4
+
n[
2
]
%
2
;
if
(n[
1
]
>
4
) n[
1
]
=
4
-
n[
1
]
%
2
;
for
(
long
i
=
0
; i
<
6
; i
++
)
{
sum
+=
n[i]
*
(i
+
1
);
}
if
(sum
==
0
)
break
;
cases
++
;
cout
<<
"
Collection #
"
<<
cases
<<
"
:/n
"
;
if
(sum
%
2
!=
0
)
{
cout
<<
"
Can't be divided./n/n
"
;
continue
;
}
sum
/=
2
;
if
(dividable())
cout
<<
"
Can be divided./n
"
;
else
cout
<<
"
Can't be divided./n
"
;
cout
<<
endl;
}
return
0
;
}
