source: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3881
title : Pirates of the Caribbean
题目简述: 给出风的方向 以及若干岛屿,风速和船速一定,求船从 那个岛到哪个岛航行时的速度最大。
/* 把向量(kx, ky)旋转到和y轴重合(所有的点也做类似的操作),结果就是求两个点的斜率的 绝对值的最大值! 先求斜率的最大值,可以用斜率优化的 方法O(n)解决;然后把每个点绕y轴对称过来,再求一遍斜率的 最大值。 这里需要的 注意的是把(kx,ky)旋转到和y轴重合 实际 是绕原点逆时针旋转了一个角度,设为a,设向量(kx,ky)和 x轴的正轴的 夹角是 b,则a=pi/2 - b, 并且cos(a) = cos(pi/2 - b) = sin(b) = ky / sqrt(kx*kx+ky*ky), sin(a) = sin(pi/2 - b) = cos(b) = kx / sqrt(kx*kx+ky*ky)。 点(x, y)绕原点逆时针旋转了a的角度之后的坐标是 (x * cos(a) - y * sin(a), x * sin(a) + y * cos(a)), 这样求变换之后的坐标 就免去了求三角函数,避免了 不必要的 精度损失。 */ #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef double typev; typedef pair<int, int> pii; const int N = 100005; const double eps = 1e-8; const double DINF = 1e40; const double pi = acos(-1.0); //输入一个整数 template<typename T> void getSNum(T& ans){ char ch; int s; while(true){ ch = getchar(); if((ch >= '0' && ch <= '9') || ch == '-') break; } if(ch == '-'){ s = -1; ans = 0; }else{ s = 1; ans = ch -'0'; } while(true){ ch = getchar(); if(!(ch >= '0' && ch <= '9')) break; ans = ans*10+ch-'0'; } ans *= s; } int sign(double a){ return a < -eps ? -1 : (a > eps); } struct point{ typev x, y; int id; void read(){ scanf("%lf%lf", &x, &y); } void print(){ printf("(%lf, %lf)\n", x, y); } point(typev _x=0, typev _y=0):x(_x), y(_y) {} }ps[N], que[N]; int n; point k; typev xmul(point st, point ed1, point ed2){ return (ed1.x-st.x)*(ed2.y-st.y) - (ed1.y-st.y)*(ed2.x-st.x) ; } bool isLess(pii a, pii b){ return a.first < b.first || (a.first == b.first && a.second < b.second); } //点集的斜率的最大值, 下标从0开始,这里ps里的点是按x的升序排的并把取得斜率的 //最大值的两个点的 下标放在ans里,如果有多组解,取(ans.x, ans.y)的字典序最小 double maxSlope(point *ps, int n, pii& ans){ int l, r, i, k; double s, tmp; pii ti; l = r = 0; que[r++] = ps[0]; s = -DINF; for(i = 1; i < n; i++){ while(r-l >= 2){ k = sign(xmul(que[l], que[l+1], ps[i])); if(k < 0 || (k == 0 && que[l].id < que[l+1].id)) break; l++; } tmp = (ps[i].y-que[l].y)/(ps[i].x-que[l].x); ti.first = que[l].id; ti.second = ps[i].id; if(sign(s-tmp) < 0 || (sign(s-tmp) == 0 && isLess(ti, ans))){ s = tmp; ans = ti; } while(r-l >= 2){ k = sign(xmul(que[r-2], que[r-1], ps[i])); if(k > 0 || (k == 0 && que[r-1].id < ps[i].id)) break; r--; } que[r++] = ps[i]; } return s; } bool cmpp(point a, point b){ // return sign(a.x - b.x) < 0 || (sign(a.x-b.x) == 0 && a.y < b.y); return (a.x < b.x) || (sign(a.x-b.x) == 0 && a.y < b.y); } //点集的斜率的绝对值的最大值, 下标从0开始,并把取得 斜率的最大值的两个点的 下标放在ans里,如果有多 //组解,取(ans.x, ans.y)的字典序最小 double maxSlopeAbs(point* ps, int n, pii& ans){ //首先判断是否有点的x值相等 sort(ps, ps+n, cmpp); double s = -DINF; int i, j, mi; pii ti; for(i = 0; i < n; i++){ for(j = i; j < n && sign(ps[j].x-ps[i].x) == 0; j++) ; if(j-i > 1){ for(mi=ps[i].id, i++; i < j; i++){ ti.first = mi; ti.second = ps[i].id; if(s < 0 || (s > 0 && isLess(ti, ans))){ s = DINF; ans = ti; } if(mi > ps[i].id){ mi = ps[i].id; } } } i = j-1; } if(s > 0){ return s; } s = maxSlope(ps, n, ans); double tmp; int l, r; for(i = 0; i < n; i++){ ps[i].x = 0 - ps[i].x; } l = 0; r = n-1; while(l < r){ swap(ps[l++], ps[r--]); } tmp = maxSlope(ps, n, ti); if(sign(tmp-s) > 0 || (sign(tmp-s) == 0 && isLess(ti, ans))){ s = tmp; ans = ti; } return s; } point rotate(point st, double Cos, double Sin){ return point(st.x*Sin- st.y*Cos, st.x*Cos+st.y*Sin); } bool input(){ if(scanf("%d", &n) == EOF) return false; k.read(); int i, g; double Cos, Sin, len; len = sqrt(k.x*k.x+k.y*k.y); Cos = k.x / len; Sin = k.y / len; for(i = 0; i < n; i++){ getSNum(g); ps[i].x = g; getSNum(g); ps[i].y = g; //所有点绕着原点逆时针旋转某个角度 ps[i] = rotate(ps[i], Cos, Sin); ps[i].id = i+1; } return true; } void solve(){ pii ans; if(k.x == 0 && k.y == 0){ ans.first = 1; ans.second = 2; }else{ maxSlopeAbs(ps, n, ans); } printf("%d %d\n", ans.first, ans.second); } int main(){ //freopen("in.txt", "r", stdin); while(input()) solve(); return 0; }