2009福州数学建模题目及答案
2009年福州市各院校数学建模竞赛题目
第一题：产销问题
某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。
表1. 产品需求预测估计值（件）
| 月份 |
1月 |
2月 |
3月 |
4月 |
5月 |
6月 |
| 预计需求量 |
1000 |
1100 |
1150 |
1300 |
1400 |
1300 |
1月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。
表2. 产品各项成本费用
| 原材料成本 |
库存成本 |
缺货损失 |
外包成本 |
培训费用 |
| 100元/件 |
10元/件/月 |
20元/件/月 |
200元/件 |
50元/人 |
| 解聘费用 |
产品加工时间 |
工人正常工资 |
工人加班工资 |
|
| 100元/人 |
1.6小时/件 |
12元/小时/人 |
18元/小时/人 |
|
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；
（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。
第二题：订购问题
假如你负责一个中等面粉加工厂的原料采购。该工厂每星期面粉的消耗量为80包，每包面粉的价格是250元。在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。订购的面粉可以即时送达。工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包面粉的库存成本为每星期1.10元。
（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的面粉，计算这种方案下的平均成本。
（2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
（3）若面粉供应商为推出促销价格：当面粉的一次购买量大于500包时，为220元/包。建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
第三题：肥皂液薄膜曲面问题
如果你把一根铜丝弯成一条封闭的空间曲线(留出一个把手), 将这个框架浸入配制好的肥皂液, 然后将它轻轻地提取出来, 那么肥皂液就会在铜丝框架上张成一个处于平衡状态的绚丽多彩的薄膜. 试分析这个薄膜是怎样的曲面?
如图1建立空间直角坐标系, 若框架曲线满足方程 请画出薄膜曲面的图像.
图1 框架曲线