欧拉定理之我见

欧拉定理是数论中一个很重要的定理，它的证明也是多种多样，有很多证法非常复杂，别说理解了，看都很难看懂，但是有的却是十分简洁，很多时候，数学证明就像是排兵布阵，一步错步步错，付出的代价远比你想象的要大，反之，如果你找到了突破口，那么胜利也就是一个必然结果了，在数学上，比如有两个定理，很多情况下它们是可以互推的，例如定理A和B，有一种证明B的方法是通过A将之推出(例如使用数学归纳法)，而另一种方式则是使用和A以及B都不相关的一套体系，也就是说在A/B之上构建了一个理论，然后A被推出，B就是必然结果了，此时好像B推出了A，这正常吗？其实很正常，说白了这就是分析和综合的差别，一个是从大处着眼，逐步细化，导出一个真理，另一个则是从小处总结，最后得到一个普遍真理(不要误会真理的含义)，前面举的例子中，A的轮廓比B稍大，如果我们从B入手，是可能推出A的，然而如果我们从比A和B轮廓都大的体系着手的话，A首先被推出，而B是A的一个特例意义上的定理。这正好比，在一个自洽的系统中，身在其中的你能想办法靠摸索的方式弄清该系统的轮廓(或者靠别的更奇妙的方式)，而身在其外的你则能更加容易的一眼看出究竟。有些事情就是这样，前置工作做好了之后，剩下的就是一个必然结果了，这种乐趣玩过《三国志》的同志们都能体会。
欧拉定理的一种证法就是使用了剩余类这个概念来证明的，首先定义了剩余类的概念，设整数m，则m的一个剩余类是一个集合{...,-2m+i,-m+i,i,m+i,2m+i,...}，m的所有的剩余类是上述集合的集合，i从1取到m-1，一共有m-1个剩余类C1，C2，...，Cm-1。接下来定义了剩余类上的运算，Ci+Cj，Ci*Cj...，又是抽象，和群环域类似，然后在这些概念的基础上导出了既约剩余类的概念，m的一个既约剩余类是一个剩余类Ci，其中i和m互质，m的所有的既约剩余类就是所有的这种i和m互质的Ci的集合，因此引出了欧拉函数，所谓的欧拉函数F(m)就是m的既约剩余类的个数，最终引出了欧拉定理：若正整数n，a互质，则a^F(n)=1(mod n)。可以看出，这个结论是建立在上述剩余类的运算规则上的，也就是说，如果说上述运算规则正确，那么欧拉定理就是一个必然结果了。看一下为何是必然结果，这里不得不引出一个“剩余系”的概念，剩余系是由一系列剩余类组成的，既约剩余系的组成为所有既约剩余类的集合，元素个数是欧拉数，设n的既约剩余系为R={Ci,Cj,..Cii}，一共F(n)个元素，集合中元素两两互质，既约剩余系是集合的集合，由于n和a互质，则用a乘以n的既约剩余系中的所有元素(数字与剩余类的乘法)，结果R2=a*R仍为既约剩余系，而一个n的既约剩余系只有一个。将R中的所有元素相乘得到M1=Ci*j...*ii，将R2中的所有元素相乘，得到M2=a^F(n)Ci*j...*ii(剩余类的乘法)，则M1和M2二者在剩余类的群上相等，就是说它们同余，M1=M2，两边约去Ci*j...*ii，得到1和a^F(n)同余，欧拉定理得证。通过这个定理，我们可以得到一个推论，那就是费马定理，可是从本文最开始的哲学论述上看，从费马定理也可以证明欧拉定理，事实上是这样的，只是我不太喜欢那种证法，本文不赘述。