[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5

证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$.

 

证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中没有 $9$ 的个数为 $8\cdot 9^{m-1}$ (除首位可能为 $1,2,\cdots,8$ 外, 其余各位可能为 $0,1,\cdots,9$), 而新级数的和 $$\bex <\vsm{m}\frac{8\cdot 9^{m-1}}{10^{m-1}}=80. \eex$$