整数划分问题
整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题:
- 描述
-
整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。
- 输入
- 每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
- 输出
-
对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行 - 样例输入
-
5 2
- 样例输出
-
7 2 3 3 3
- 提示
-
样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3
下面是我根据网上的资料, 写出自己的分析和实现过程.
分析:
本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决
一 求将n划分为若干正整数之和的划分数
1. 若划分的多个整数可以相同
设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数
(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；
(2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；
(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。
dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。
2. 若划分的正整数必须不同
设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数
(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；
(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；
(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]
dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5.
二 将n划分为k个整数的划分数
设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。
(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；
(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；
(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。
dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。
三 将n划分为若干正奇数之和的划分数
设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。
使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以
g[i][j] = f[i-j][j]。
f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。
所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。
参考: [1] http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653
[2] http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html
实现代码:
网上关于本题的实现代码都是C语言写的, 而且有过多的计算. 本来根据用户的输入规模n, 直接计算n*n的矩阵就可以了, 但是网上的代码计算的是N*N, N是个预设的值, 而且比n大很多, 这样就影响了程序的速度.
下面是我的C++实现:
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n, k;
while(cin>>n>>k) {
int num[n+1][n+1]; // num[i][j]表示将i划分为不大于j的划分数
int num1[n+1][n+1]; // num1[i][j]表示将i划分为不大于j的不同整数的划分数
int num2[n+1][n+1]; // num2[i][j]表示将i划分为j个整数之和的划分数
int g[n+1][n+1], f[n+1][n+1]; // f[i][j]表示将i划分为j个奇数的划分数,g[i][j]表示将i划分为j个偶数的划分数
for(int i=0; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=n; j++)
num[i][j]=num1[i][j]=num2[i][j]=f[i][j]=g[i][j]=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++) {
if(i<j) {
num[i][j]=num[i][i];
num1[i][j]=num1[i][i];
num2[i][j]=0;
}
else if(i == j) {
num[i][j]=1+num[i][j-1];
num1[i][j]=1+num1[i][j-1];
num2[i][j]=1;
}
else {
num[i][j]=num[i-j][j]+num[i][j-1];
num1[i][j]=num1[i-j][j-1]+num1[i][j-1];
num2[i][j]=num2[i-1][j-1]+num2[i-j][j];
}
}
// 这一部分不太理解, 为什么运行会是正确的, 求大牛解释
f[0][0]=1; g[0][0]=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=i; j++) {
g[i][j] = f[i-j][j];
f[i][j] = g[i-j][j] + f[i-1][j-1];
}
int res1 = num[n][n];
int res2 = num2[n][k];
int res3 = num[n][k];
int res4 = 0;
for(int i=0; i<=n; i++)
res4 += f[n][i];
int res5 = num1[n][n];
cout<<res1<<endl<<res2<<endl<<res3<<endl<<res4<<endl<<res5<<endl<<endl;
}
}