[实变函数]4.3 可测函数的构造

1 (Lusin 定理) 设 $$\bex f\mbox{ 是可测集 }E\mbox{ 上 }\ae \mbox{ 有限的可测函数}, \eex$$ 

    则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ \mbox{ 闭集 }F_\delta\subset E,\ m(E\bs F_\delta)<\delta, \st f\mbox{ 在 }F_\delta\mbox{ 上连续}. \eex$$ 

    证明: 

    (1) 若 $f$ 是简单函数:     $$\bex     f=\sum_{i=1}^k c_i\chi_{E_i}(x),\quad E_i\cap E_j=\vno\ (i\neq j).     \eex$$

    则\footnote{在第 3.3 节中, 我们已经证得     $$\bex        E\mbox{ 可测}\ra \forall\ \ve>0,\ \exists\ O\supset E, \st m(O\bs E)<\ve,     \eex$$     

    而有     $$\bex     E\mbox{ 可测}\ra \forall\ \ve>0,\ \exists\ F\subset E,\st m(E\bs F)<\ve.     \eex$$     }     $$\bex     \forall\ \ve>0,\ \exists\ F_i\subset E_i,\st m(E_i\bs F_i)<\frac{\delta}{k}.     \eex$$     

    令     $$\bex     f=\sum_{i=1}^k c_i\chi_{F_i},     \eex$$

    则 $f$ 在 $\dps{F_\delta=\cup_{i=1}^k F_i}$ 上连续\footnote{设 $x_0\in F_\delta$, 则 $\exists\ i_0,\st x_0\in F_{i_0}$. 

    由 $F_i$ 两两不交及第 2.3 节的结论 (正规性),     $$\bex     \exists\ O\supset F_{i_0},\ O'\supset F_\delta\bs F_{i_0}\st  O\cap O'=\vno.     \eex$$     

    因此,     $$\bex     \exists\ \delta>0,\st B(x_0,\delta)\subset O\ra B(x_0,\delta)\cap F_\delta=B(x_0,\delta)\cap F_{i_0}.     \eex$$     

    这说明 $f(F_\delta\cap B(x_0,\delta))=c_{i_0}$.}, 且     $$\bex     m(E\bs F_\delta)     =m\sex{\cup_{i=1}^k E_i\bs \cup_{i=1}^k F_i}     \leq m\sex{\cup_{i=1}^k (E_i\bs F_i)}     <\delta.     \eex$$ 

    (2) 若 $f$ 有界可测, 有     $$\bex     \exists\ \mbox{ 简单函数列 }\phi_k\rightrightarrows f.     \eex$$     

    对 $\forall\ \ve>0$, 对每一 $\phi_k$, 由已证,     $$\bex     \exists\ \mbox{ 闭集 }F_k,\ m(E\bs F_k)<\frac{\delta}{2^k},\st \phi_k\mbox{ 在 }F_k\mbox{ 上连续}.     \eex$$        

    取 $\dps{F_\delta=\cap_{k=1}^\infty F_k}$, 则 $F_\delta$ 为闭集; $f$ 作为一致收敛的连续函数列的极限, 在 $F_\delta$ 

    上连续; 且     $$\bex     m(E\bs F_\delta)     \leq \sum_{k=1}^\infty m(E\bs F_k)<\delta.     \eex$$ 

    (3) 若 $f$ 可测, 用 $E\bs E[|f|=+\infty]$ 代替 $E$ 后可设 $f$ 是有限函数. 考虑有界

    函数     $$\bex     f=\frac{f}{1+|f|},     \eex$$

    由已证,     $$\bex     \forall\ \delta>0,\ \exists\ \mbox{ 闭集 }F_\delta\subset E,\ m(E\bs F_\delta)<\delta, \st g\mbox{ 在 }F_\delta\mbox{ 上连续}.     \eex$$     

    而 $f$ 在 $F_\delta$ 上连续\footnote{     $$\bex     |g|=\frac{|f|}{1+|f|}\ra |f|=\frac{|g|}{1-|g|}\ra     f=g(1+|f|)=\frac{g}{1-|g|}.     \eex$$}.             

 

2 Lusin 定理的意义: $$\bex \mbox{可测函数 ``基本上'' 连续}. \eex$$   

3 Lusin 定理的另一形式: 设 $f$ 是 $E$ 上 $\ae$ 有限的可测函数, 则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ F\subset E: m(E\bs F)<\delta, g\in C(\bbR), \eex$$ $$\bex \st g|_F=f,\ \sup_{\bbR}g=\sup_Ff,\ \inf_{\bbR}g=\inf_Ff. \eex$$ 

    注意 $E\subset \bbR$ 情形时的几何意义. 

 

4 作业: Page 94 T 8.