人工智能里的数学修炼 | 隐马尔可夫模型:基于EM的鲍姆-韦尔奇算法求解模型参数

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隐马尔可夫模型的参数为 λ = { A , B , π } \lambda=\{A,B,\pi\} λ={A,B,π}, 对余其参数的求解,可以分为两种情况。

第一种情况较为简单,就是我们已知长度为 T T T的观测序列和对应的隐藏状态序列,即 { ( O , I ) } \{(O,I)\} {(O,I)}是已知的,此时我们可以很容易的用最大似然来求解模型参数。

第二种情况较为复杂,很多时候,我们无法得到隐马尔可夫模型观察序列对应的隐藏序列,即只有 { O } \{O\} {O}是已知的,此时,我们就需要采用到鲍姆-韦尔奇算法,其实本质上也就是就是EM算法

一、鲍姆-韦尔奇算法原理

鲍姆-韦尔奇算法在每一次迭代中,都分为E和M两步,在E步,我们需要基于联合分布 P ( O , I ∣ λ ) P(O,I|\lambda) P(O,Iλ)和条件概率 P ( I ∣ O , λ ˉ ) P(I|O,\bar{\lambda}) P(IO,λˉ)的算出期望 Q Q Q(其中 λ ˉ \bar{\lambda} λˉ为当前迭代中模型参数),然后在M步中极大化这个期望,获得更新的模型参数 λ \lambda λ。通过不停的EM迭代,使得模型参数收敛

  • E步的期望表达式为:
    Q = ∑ I P ( I ∣ O , λ ˉ ) l o g P ( O , I ∣ λ ) Q=\sum_{I}P(I|O,\bar{\lambda})logP(O,I|\lambda) Q=IP(IO,λˉ)logP(O,Iλ)
  • 在M步我们极大化上式,然后得到更新后的模型参数如下:
    λ ˉ = a r g m a x λ ˉ ∑ I P ( I ∣ O , λ ˉ ) l o g P ( O , I ∣ λ ) \bar{\lambda}=argmax_{\bar{\lambda}}\sum_{I}P(I|O,\bar{\lambda})logP(O,I|\lambda) λˉ=argmaxλˉIP(IO,λˉ)logP(O,Iλ)通过,E步和M步不断的迭代,我们可以得到收敛的参数 λ ˉ \bar{\lambda} λˉ
    上面的式子可能有些地方不知道该如何计算,接下来讲解,具体的推导和计算方法

二、鲍姆-韦尔奇算法的推导

输入:长度为 T T T的观测序列 O = { ( o 1 ) , ( o 2 ) , . . . , ( o T ) } O=\{(o_{1}),(o_{2}),...,(o_{T})\} O={(o1),(o2),...,(oT)},所有的可能的状态集合 q 1 , q 2 , . . . , q N {q_{1},q_{2},...,q_{N}} q1,q2,...,qN, 所有可能的观测集合 v 1 , v 2 , . . . , v M {v_{1},v_{2},...,v_{M}} v1,v2,...,vM
未知:隐藏的状态序列 I = { ( i 1 ) , ( i 2 ) , . . . , ( i T ) } I=\{(i_{1}),(i_{2}),...,(i_{T})\} I={(i1),(i2),...,(iT)}
目标: λ = { A , B , π } \lambda=\{A,B,\pi\} λ={A,B,π}

对于鲍姆-韦尔奇算法的E步,我们需要首先计算联合分布 P ( O , I ∣ λ ) P(O,I|\lambda) P(O,Iλ)如下:
P ( O , I ∣ λ ) = π i 1 b i 1 ( o 1 ) a i 1 i 2 b i 2 ( o 2 ) a i 2 i 3 . . . b i ( T − 1 ) ( o T − 1 ) a i ( T − 1 ) i ( T ) b i T ( o T ) P(O,I|\lambda)=\pi_{i1}b_{i1}(o_{1})a_{i1i2}b_{i2}(o_{2})a_{i2i3}...b_{i(T-1)}(o_{T-1})a_{i(T-1)i(T)}b_{iT}(o_{T}) P(O,Iλ)=πi1bi1(o1)ai1i2bi2(o2)ai2i3...bi(T1)(oT1)ai(T1)i(T)biT(oT)因为条件概率 P ( I ∣ O , λ ˉ ) = P ( O , I ∣ λ ) P ( O , λ ) P(I|O,\bar{\lambda})=\frac{P(O,I|\lambda)}{P(O,\lambda)} P(IO,λˉ)=P(O,λ)P(O,Iλ) P ( O , λ ) P(O,\lambda) P(O,λ)是一个参数, 期望Q可以简化为
Q = ∑ I P ( O , I ∣ λ ˉ ) l o g P ( O , I ∣ λ ) Q=\sum_{I}P(O,I|\bar{\lambda})logP(O,I|\lambda) Q=IP(O,Iλˉ)logP(O,Iλ) P ( O , I ∣ λ ) P(O,I|\lambda) P(O,Iλ)带入上式,我们有
Q = ∑ I P ( O , I ∣ λ ˉ ) l o g π i + ∑ I ( ∑ t T l o g b i t ( o t ) ) P ( O , I ∣ λ ˉ ) + ∑ I ( ∑ t T − 1 l o g a i t i ( t + 1 ) ) P ( O , I ∣ λ ˉ ) Q=\sum_{I}P(O,I|\bar{\lambda})log\pi_{i}+\sum_{I}(\sum_{t}^{T}logb_{it}(o_{t}))P(O,I|\bar{\lambda})+\sum_{I}(\sum_{t}^{T-1}loga_{iti(t+1)})P(O,I|\bar{\lambda}) Q=IP(O,Iλˉ)logπi+I(tTlogbit(ot))P(O,Iλˉ)+I(tT1logaiti(t+1))P(O,Iλˉ)

接下来对于对于鲍姆-韦尔奇算法的M步,我们需要极大化Q,这要求对Q的三个子式子分别求导,可以得到
π ˉ i = γ 1 ( i ) \bar{\pi}_{i}=\gamma_{1}(i) πˉi=γ1(i)其中 γ t ( i ) = P ( i t = q i ∣ O , λ ) = P ( i t = q i , O ∣ λ ) P ( O ∣ λ ) ) \gamma_{t}(i)=P(i_{t}=q_{i}|O,\lambda)=\frac{P(i_{t}=q_{i},O|\lambda)}{P(O|\lambda))} γt(i)=P(it=qiO,λ)=P(Oλ))P(it=qi,Oλ)表示在观测序列 O O O给定的条件下,时刻 t t t处于状态 q i q_{i} qi的概率。
a ˉ i j = ∑ t = 1 T − 1 ξ t ( i , j ) ∑ t = 1 T γ t ( i ) \bar{a}_{ij}=\frac{\sum_{t=1}^{T-1}\xi_{t}(i,j)}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(i)} aˉij=t=1Tγt(i)t=1T1ξt(i,j)这里 ξ t ( i , j ) = P ( i t = q i , i t + 1 = q j ∣ O , λ ) \xi_{t}{(i,j)}=P(i_{t}=q_{i},i_{t+1}=q_{j}|O,\lambda) ξt(i,j)=P(it=qi,it+1=qjO,λ)表示在观测序列 O O O给定的条件下,时刻 t t t处于状态 q i q_{i} qi且时刻 t + 1 t+1 t+1处于 q j q_{j} qj的概率。
b ˉ j ( k ) = ∑ t − 1 T γ t ( j ) I ( o t = v k ) ∑ t = 1 T γ t ( j ) \bar{b}_{j}(k)=\frac{\sum_{t-1}^{T}\gamma_{t}(j)I(o_{t}=v_{k})}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(j)} bˉj(k)=t=1Tγt(j)t1Tγt(j)I(ot=vk)

三、鲍姆-韦尔奇算法的流程

  1. 初始化参数 λ ˉ = { A , B , π } \bar{\lambda}=\{A,B,\pi\} λˉ={A,B,π}
  2. 更新迭代参数
    π ˉ i = γ 1 ( i ) \bar{\pi}_{i}=\gamma_{1}(i) πˉi=γ1(i)
    a ˉ i j = ∑ t = 1 T − 1 ξ t ( i , j ) ∑ t = 1 T γ t ( i ) \bar{a}_{ij}=\frac{\sum_{t=1}^{T-1}\xi_{t}(i,j)}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(i)} aˉij=t=1Tγt(i)t=1T1ξt(i,j)
    b ˉ j ( k ) = ∑ t − 1 T γ t ( j ) I ( o t = v k ) ∑ t = 1 T γ t ( j ) \bar{b}_{j}(k)=\frac{\sum_{t-1}^{T}\gamma_{t}(j)I(o_{t}=v_{k})}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(j)} bˉj(k)=t=1Tγt(j)t1Tγt(j)I(ot=vk)
  3. 模型收敛,停止迭代

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