HDU 6117 打怪兽2（组合数学+优先队列）

Description

度度熊在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。

游戏的规则是这样的。

度度熊一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽，若度度熊的能量值≥ 怪兽的能量值并且度度熊剩余血量≥怪兽的攻击力，那么怪兽将会被打败，度度熊的能量值增加1，度度熊的血量减少该怪兽的攻击力，否则度度熊死亡（度度熊的血量刚好减到0时并不会死亡，还能继续战斗），游戏结束。

若怪兽全部打完，游戏也将会结束。

共有n个怪兽，由于度度熊比较弱，它一开始只有1点能量值。
n个怪兽排列随机，也就是说共有n!种可能，度度熊想知道结束时它能量值的期望。
注意这里怪兽的编号是从1开始到编号n为止且编号为i的怪兽能量值为i-1。

由于小数点比较麻烦，所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了！

在样例中有5个怪兽，它们的能量分别为0,1,2,3,4，其中每个怪兽的攻击力都为1。

Input

多组数据。对于每一组数据：
第一行两个数n,m表示有n只怪兽，度度熊的初始血量(1<=n<=500000,1<=m<=10^9)。

接下来一行n个数ai表示编号为i的怪兽的攻击力(0<=ai<=m)。

Output

一行表示答案。

Sample Input

5 4
1 1 1 1 1

Sample Output

104

Solution

令 num[i] 为至少干掉 i 只怪兽的方案数，则干掉 i 只怪兽的方案数为 num[i]−num[i+1]

进而 ans=∑i=1n−1i⋅(num[i]−num[i+1])+num[n]=∑i=1nnum[i]

考虑求 num[i] ，给怪兽编号为 0 ~ n−1 ，那么第 i 只怪兽能量为 i 攻击力为 ai ，如果要干掉 i 个怪兽，那么 0 ~ i−1 这 i 个怪兽中至少要干掉 i−1 个，由于第 i 次干掉的怪兽其编号最多是 i ，故我们考虑编号为 0 ~ i 的怪兽即可

1 .若 m−∑j=0i−1aj≥0 且 m−∑j=0iaj≥0 ，那么前 i+1 只怪兽都可以干掉，第 1 次可以从前两个中选一个干掉，第 2 次可以从前三个中（除去第一次被干掉的还剩两个）选一个干掉，第 i 次可以从前 i+1 个中（除去前 i−1 次干掉的还剩两个）选一个干掉，故从前 i+1 个怪兽中选出 i 个干掉方案数是 2i ，剩下的 n−i 个怪兽可以随便放，总方案数 2i⋅(n−i)!

2 .若 m−∑j=0i−1aj≥0 且 m−∑j=0iaj<0 ，那么前 i+1 只怪兽不能像第 1 种情况那样每次随便干掉，如果要干掉 i 个，那么就要有一些“大怪兽”不能被干掉，否则完不成干掉 i 只怪兽的任务，假设 m−∑j=0iaj+ak>=0 ，说明如果不干掉第 k 只怪兽的话剩下的 i 只怪兽都可以干掉，即可以干掉编号为 0 ~ k−1 和 k+1 ~ i 的这些怪兽，从 0 ~ k−1 的这 k 只怪兽中选出 k−1 只怪兽干掉的方案数和第 1 种情况相同，方案数为 bk=2max{0,k−1} (注意 k=0 时方案数是1)，剩下一只怪兽只能第 k 次干掉，干掉这 k 只怪兽后能量值是 k+1 ，第 k+1 步就只能干掉 k+1 ，第 k+2 步就只能干掉 k+2 ，……，第 i 步只能干掉 i ，故干掉编号为 0 ~ k−1 和 k+1 ~ i 的这些怪兽的方案数为 bk ，剩下的 n−i 只怪兽依旧可以随便放，令 sum=∑k=0i[m−∑j=0iaj+ak≥0]bk ，则总方案数为 sum⋅(n−i)!

3 .若 m−∑j=0i−1aj<0 ，类似第 2 种情况，令 sum=∑k=0i[m−∑j=0iaj+ak≥0]bk ，则总方案数为 sum⋅(n−i)!

现在问题变成如何快速得到 sum ，即满足 m−∑j=0iaj+ak≥0 的 bk 之和，注意到随着 i 的增大， m−∑j=0iaj 是递减的，所以满足条件的 k 只会越来越少，第一次出现满足条件的 k 是在第 2 种情况发生时，而且显然第 2 种情况至多出现一次，之后满足条件的 k 中，一些 ak 值较小的会被淘汰掉，用优先队列维护满足条件的 k ， ak 值最小的在队首，维护 sum 的值，在第 2 种情况出现时把所有满足条件的 k 值放入优先队列中并累加 bk 的值得到 sum ，之后都是第 3 种情况，每次从队首不断取出不满足条件的 k 值，把 bk 值从 sum 中减掉，这样每个 k 值入队一次出队一次，每次计数是 O(1) 的，总时间复杂度是 O(nlogn)

注意上面只求了 num[1] ~ num[n−1] ，对于 num[n] ，如果 m−∑i=0n−1ai≥0 ，说明这 n 只怪兽可以随便干掉，由第 1 种情况，干掉前 n−1 只怪兽每次都有 2 种方案，最后剩一只没别的选择，故 num[n]=2n−1 ，否则 num[n]=0

Code

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace fastIO 
{
    #define BUF_SIZE 100000
    //fread -> read
    bool IOerror=0;
    inline char nc() 
    {
        static char buf[BUF_SIZE],*p1=buf+BUF_SIZE,*pend=buf+BUF_SIZE;
        if(p1==pend) 
        {
            p1=buf;
            pend=buf+fread(buf,1,BUF_SIZE,stdin);
            if(pend==p1) 
            {
                IOerror=1;
                return -1;
            }
        }
        return *p1++;
    }
    inline bool blank(char ch) 
    {
        return ch==' '||ch=='\n'||ch=='\r'||ch=='\t';
    }
    inline void read(int &x) 
    {
        char ch;
        while(blank(ch=nc()));
        if(IOerror)return;
        for(x=ch-'0';(ch=nc())>='0'&&ch<='9';x=x*10+ch-'0');
    }
    inline void readlld(ll &x) 
    {
        char ch;
        while(blank(ch=nc()));
        if(IOerror)return;
        for(x=ch-'0';(ch=nc())>='0'&&ch<='9';x=x*10ll+ch-'0');
    }
    #undef BUF_SIZE
};
using namespace fastIO;
#define mod 1000000007
#define maxn 500005
int n,a[maxn],f[maxn],p2[maxn];
ll m;
struct node
{
    int v;
    bool operator<(const node&b)const
    {
        return a[v]>a[b.v];
    }
};
priority_queueque;
int main()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=500000;i++)f[i]=(ll)i*f[i-1]%mod;
    p2[0]=1;
    for(int i=1;i<=500000;i++)p2[i]=(p2[i-1]<<1)%mod;
    while(1)
    {
        read(n),readlld(m);
        if(IOerror)break; 
        for(int i=0;i//scanf("%d",&a[i]);
        int sum=0,ans=0;
        m-=a[0];
        for(int i=1;iif(m<0)
            {
                m-=a[i];
                while(!que.empty())
                {
                    int j=que.top().v;
                    if(m+a[j]>=0)break;
                    que.pop();
                    sum-=p2[max(0,j-1)];
                    if(sum<=0)sum+=mod;
                }
                ans+=(ll)sum*f[n-i]%mod;
                if(ans>=mod)ans-=mod;
            }
            else
            {
                m-=a[i];
                if(m<0)
                {
                    while(!que.empty())que.pop();
                    for(int j=0;j<=i;j++)
                        if(m+a[j]>=0)
                        {
                            que.push((node){j});
                            sum+=p2[max(0,j-1)];
                            if(sum>=mod)sum-=mod;
                        }
                    ans+=(ll)sum*f[n-i]%mod;
                    if(ans>=mod)ans-=mod;
                }
                else 
                {
                    ans+=(ll)p2[i]*f[n-i]%mod; 
                    if(ans>=mod)ans-=mod;
                }
            }
        }
        if(m>=0)
        {
            ans+=p2[n-1];
            if(ans>=mod)ans-=mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}