Hall定理学习小记

前言

蒟蒻Tom学hall定理！他萌萌哒！
hall定理就是关于判定二分图是否存在完美匹配的东西啦。
那我们来一些基本定义吧。

基本定义

也没啥好定义的。。
学过网络流应该都懂本文要提到的东西。
完美匹配是指最大匹配数为min(|X|,|Y|)
也就是X或Y集合其中一个集合所有点都被匹配了。

定理内容

我们来假设X集合点少一点好了。X集合就当做有n个点。
那么二分图G存在完美匹配，则取任意正整数1<=k<=n，均满足我从X集合选出k个不同的点，那么它们连向的y集合的点个数不小于k。

必要性证明

假如一个二分图G存在完美匹配，且不满足Hall定理。
那么对于某k个点，它们连向的都不足k个点。
那么它们是怎么都被匹配上的？？？
很显然必要性正确。

充分性证明

假如一个二分图G不存在完美匹配，且满足Hall定理。
那么假如有一种最大匹配的方案，既然不存在完美匹配，可以找到至少一个未被匹配的点。
因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点一定连向了至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中，它们就匹配了，怎么可能呢？？？
那么这个点在最大匹配中！所以一定有一个点和它匹配了。
因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点又一定连向了除它匹配的点外的至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中，一条增广路找到了，怎么可能呢？？？
那么这个点在最大匹配中！所以……
看懂了吧！我们一定能推出矛盾！
所以充分性正确。