MPC中常用到的非线性模型

考虑到理论模型太复杂或难以获得解析表达式，一些非理论模型可以高精度逼近真实系统，已经应用于非线性系统的MPC，如Volterra，NARMAX模型，维纳模型，Hammerstein模型等。本文选取几种做简单介绍：

1. Volterra模型
   Volterra模型属于非理论性模型的一种，可以较为精确的描述非线性系统的动态特性。对于单数入单输出的离散非线性系统，二阶Volterra模型的一般形式可表述如下：
   
   y(k)=∑i=1Mh1(i)u(k−i)+∑i=1M∑j=1Mh2(i,j)u(k−i)u(k−j) y ( k ) = ∑ i = 1 M h 1 ( i ) u ( k − i ) + ∑ i = 1 M ∑ j = 1 M h 2 ( i , j ) u ( k − i ) u ( k − j )
   
   其中 yk y k 和 uk u k 分别是模型的输出和输入， h1(i) h 1 ( i ) 和 h2(i,j) h 2 ( i , j ) 分别是系统的一阶、二阶Volterra时域核。
2. Wiener模型
   Wiener模型描述了这样一类非线性系统：在不同工作点上，系统的静态非线性增益相差很大，而系统的动态特性很接近。它由动态线性部分和静态非线性部分组成.
   线性部分：
   
   A(q−1)x(t)=B(q−1)u(t) A ( q − 1 ) x ( t ) = B ( q − 1 ) u ( t )
   
   非线性部分：
   
   y(t)=f(x(t)) y ( t ) = f ( x ( t ) )
   
   式中： A(q−1)=1+a1q−1+a2q−2+...+anaq−na A ( q − 1 ) = 1 + a 1 q − 1 + a 2 q − 2 + . . . + a n a q − n a ； B(q−1)=1+b1q−1+b2q−2+...+bnbq−nb B ( q − 1 ) = 1 + b 1 q − 1 + b 2 q − 2 + . . . + b n b q − n b ; u(t) u ( t ) 为模型输入； x(t) x ( t ) 为中间变量； y(t) y ( t ) 为模型输出； f(⋅) f ( · ) 为非线性增益。
   wiener模型的结构如下：
   —u—> | Linear Model | —x—> | Nonlinear Model | —y—>
   置换一下非线性模型和线性模型的位置，及为Hammerstein模型的结构。
3. 非线性自回归滑动平均(NARMAX)模型
   NARMAX模型表示输入输出之间的非线性函数关系，该函数是一个非线性差分方程，如下式所示：
   
   y(k)=FNt(y(k−1),...,y(k−ny),u(k−1),...,u(k−nu),e(k−1),...,e(k−ne))+e(k) y ( k ) = F N t ( y ( k − 1 ) , . . . , y ( k − n y ) , u ( k − 1 ) , . . . , u ( k − n u ) , e ( k − 1 ) , . . . , e ( k − n e ) ) + e ( k )
   
   其中， ny n y , nu n u , ne n e 分别是时刻 k k 时，系统输出、输入与噪声想的最大延迟数， u(k) u ( k ) , y(k) y ( k ) 分别是系统的输入与输出， FNt[⋅] F N t [ · ] 是一个非线性函数。

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