BZOJ 4403: 序列统计（Lucas定理）

题面

题解

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。

先从简单的入手：长度为N的答案是多少？单调不降的条件什么用？

单调不降就是不考虑顺序，就是组合。于是就是选值在[L,R]的数，选N个。也就是选N个值在[1,R-L+1]的数。

令M=R-L+1，将N个数看成球，有M个盒子，每个盒子代表一个值，盒子可为空的放法就是答案。排成一排，权值单调不降，用插空法答案就是 CM−1N+M−1 。

原题变成求 ∑Ni=1CM−1i+M−1%p

杨辉三角有个性质：像个拐杖一样的玩意儿：

CMN+M=∑i=0NCM−1i+M−1

证明就是不断拆项留项到出现0为止。

于是这道填空题的答案为： CMN+M−1 ，直接用Lucas定理即可。

于是就又水了一篇博客

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define maxn 1000100

using namespace std;

int n, L, R, m, p = 1000003, T;
int fac[maxn], inv[maxn];

int Pow(int x, int y){
    int res = 1;
    while(y){
        if(y & 1)  res = 1LL * res * x % p;
        x = 1LL * x * x % p;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

void Init(){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < p; i++)
        fac[i] = 1LL * fac[i-1] * i % p;

    inv[p-1] = Pow(fac[p-1], p-2);
    for(int i = p-2; i >= 0; i--)
        inv[i] = 1LL * inv[i+1] * (i+1) % p;
}

int C(int n, int m){
    if(m > n)  return 0;
    return 1LL * fac[n] * inv[m] % p * inv[n-m] % p; 
}

int Lucas(int n, int m){
    if(m > n)  return 0;
    int ans = 1;
    for(; m; n/=p, m/=p)
        ans = 1LL * ans * C(n%p, m%p) % p;
    return ans;
}

int main(){

    scanf("%d", &T);

    Init();

    while(T --){
        scanf("%d%d%d", &n, &L, &R);
        m = R - L + 1;
        printf("%d\n", (p+Lucas(n+m, m)-1) % p);
    }

    return 0;
}

最坏的生活，是没有选择的生活。