JZOJ100045 【NOIP2017提高A组模拟7.13】好数

题目

题目大意

首先有一个定义：
对于一个数，如果和它互质的数可以组成一个等差数列，那么这个数叫“好数”。
现在给你一个数列，有三种操作：
1、询问一段区间内的好数的个数。
2、将一段区间内的数分别模一个值。
3、将某个数修改。

思考历程

先看看这个题目。
好熟悉的题目啊！这不就是初中OJ上的某道数位DP的题吗？
然后发现不是那一道题，松了一口气。

一眼看下去，一定有什么数论。说不定在得到了什么结论之后，就变成一个非常简单的数据结构题了。
然后就在疯狂地推式子……最终没有推出来……
于是就弃疗了。

正解

经过打表找规律后，我们发现：
好数分为三种情况：
1、质数。
2、$2$的幂次。
3、$6$
随便想一想，我们很容易知道这些数都是好数。
可问题是，其它的数有没有可能是好数呢？
我不知道，我也不会证明……
不过对于这题来说，由于数据范围不大（也就是$10^6$以内），所以打个表当然是可以的……
这再次告诉了我们打表找规律很重要的道理。

在CGH大佬的讲解下，我终于会证明了……
首先，每个数都可以表示成$2^{k}x$的形式，其中$x$为奇数。
接下来我们分类讨论：
当$x=1$时
我觉得这个不用说……
当$k=0$时，
首先$gcd(x-1,x)=1$。
由于$x$为奇数，所以$gcd(x-2,x)=1$
那么$x-1$和$x-2$都与$x$互质，所以等差数列的公差为$1$。
既然这样，$1$到$x-1$都要和$x$互质。
所以$x$自然是质数。
当$k>0$时，
由于$x$为奇数，所以$gcd(x-2,x)=1gcd(x+2,x)=1$
$k>0$且$x>1$所以$x+2<2^{k}x$
$x-1$和$x+1$为偶数，和$2^{k}x$不互质。显然$x$和$2^{k}x$也不互质。
所以公差为$4$。
首项显然是$1$，然后我们列出来：1 5 9...
$1$、$5$和$2^{k}x$互质，没有问题。
可是$9$呢？
如果$2^{k}x$和$9$互质，那么$2^{k}x$必定和$3$互质，所以不成立！
所以在$k>0$且$x>1$时，可以的取值范围在$9$以内。特别计算一下，只有$6$符合条件。
综上所述，只有$0$、$2$的幂次、质数、$6$可以为好数。
得证。
再次膜拜一下CGH大爷。

知道了这个结论之后，仔细地再想一想，其实出解还是很容易的。
首先，好数会和模有什么关系？不用想了，反正我们已经打出了表，对一下表，我们就知道它和模似乎没有什么关系。所以，我们考虑暴力。
暴力？不会爆炸吗？
我可以很肯定地告诉你，不会爆炸。
为什么？
有一个很显然的结论：当$a>b$时，$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b<=\frac{a}{2}$
可以感性理解，也可以理性证明：
我们可以分类讨论：
当$a\ge b>\frac{a}{2}$时，那么$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-b\le \frac{a}{2}$
当$b\le \frac{a}{2}$时，那么$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b<b\le \frac{a}{2}$
得证。
所以说，在每次操作中，某个数一定会缩小一半或以上。
在没有修改的情况下，$x$能取模$\lg x$次（当然$x$大于模数）。

我们有一种很巧妙的思想，这种思想其实也不少见了。
有些操作看似暴力，实际上它的操作次数是有限的，所以你可以这么想：
不管操作次数有多少次，反正我最多只做这么多遍，你管我啊？
曾经我用过这个思想切掉了某一道题解说必须用块状链表，而不能用线段树的题目。我用了线段树AC，暴虐题解的感觉真爽……
对于这题，我们可以用线段树维护。
记录区间的好数个数还有最大值。
我们在操作2时，可以先看看这个区间的最大值是多少，如果最大值大于模数，那么就进入这个区间。
这样保证了进入每一个区间都不可能做无用功，所以保证了时间复杂度。
对于每个数，最多被模$\lg 10^6$次，总共有$n$个数，每次暴力模一个数最多花费$\lg n$的时间。所以说，不管怎样，你最多就暴力模了$n\lg n\lg 10^6$次。
实际上远远不到这么多，首先数据不会这么狠心地将所有数的价值榨干，其次，在进入一个区间后，处理一些去要处理的数往往是顺路的，也就是说，很难每次暴力下去模都花费$\lg n$的时间。
可能你会问，修改怎么办？
修改就修改喽，管它呢！
你可以看做将原来的数删去，然后插入一个新的数。原来的数剩余被模的机会没了，新来的数还有一些被模的机会。然而，修改的次数也不多，是有范围的，级别也和$n$差不多吧。就当成是多了这么多个数，实际上时间复杂度也不会被影响。

然后呢，然后呢？当然是没有然后了。
这题就被轻轻松松地解决了。

代码

using namespace std;
#include 
#include 
#include 
#define N 100000
#define MAX 1000000
int n,m;
bool is[MAX+1];
int pri[MAX+1];
int sum[N*4+1],mx[N*4+1];
void build(int,int,int);
int qsum(int,int,int,int,int);
void find(int,int,int,int,int,int);
void change_set(int,int,int,int,int);
int main(){
	memset(is,1,sizeof is);
	//下面是求质数
	for (int i=2;i<=MAX;++i){
		if (is[i])
			pri[++*pri]=i;
		for (int j=1;i*pri[j]<=MAX && j<=*pri;++j){
			is[i*pri[j]]=0;
			if (i%pri[j]==0)
				break;
		}
	}
	//除了质数之外还有0，6，2^i
	is[0]=1,is[6]=1;
	for (int i=0;1<<i<=MAX;++i)
		is[1<<i]=1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	build(1,1,n);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int op;
		scanf("%d",&op);
		if (op==1){
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%d\n",qsum(1,1,n,l,r));
		}
		else if (op==2){
			int l,r,mo;
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&mo);
			find(1,1,n,l,r,mo);
		}
		else{
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			change_set(1,1,n,x,y);
		}
	}
	return 0;
}
void build(int k,int l,int r){
	if (l==r){
		scanf("%d",&mx[k]);
		sum[k]=is[mx[k]];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
	mx[k]=max(mx[k<<1],mx[k<<1|1]);
}
int qsum(int k,int l,int r,int st,int en){
	if (l==st && r==en)
		return sum[k];
	int mid=l+r>>1;
	if (en<=mid)
		return qsum(k<<1,l,mid,st,en);
	if (mid<st)
		return qsum(k<<1|1,mid+1,r,st,en);
	return qsum(k<<1,l,mid,st,mid)+qsum(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,en);
}
void find(int k,int l,int r,int st,int en,int mo){
	if (mx[k]<mo)//如果没有可以被模的数，那就不要继续了
		return;
	if (l==r){
		sum[k]=is[mx[k]%=mo];//暴力修改……
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if (en<=mid)
		find(k<<1,l,mid,st,en,mo);
	else if (mid<st)
		find(k<<1|1,mid+1,r,st,en,mo);
	else{
		find(k<<1,l,mid,st,mid,mo);
		find(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,en,mo);
	}
	sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
	mx[k]=max(mx[k<<1],mx[k<<1|1]);
}
void change_set(int k,int l,int r,int x,int c){
	if (l==r){
		sum[k]=is[mx[k]=c];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if (x<=mid)
		change_set(k<<1,l,mid,x,c);
	else
		change_set(k<<1|1,mid+1,r,x,c);
	sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
	mx[k]=max(mx[k<<1],mx[k<<1|1]);
}

总结

首先，打表找规律是一样好东西。
在遇到什么看似是奇葩数论题的时候，如果推不出来，就打表找规律。
要知道有时候找规律比推式子简单多了。

还有，以后见到一些不怎么好维护的东西，就要联想到类似的方法。
如果操作是不可逆的东西，那就试着暴力搞。
反正怎么搞顶多这么多次，那就暴力呗！