bzoj1485 [HNOI2009]有趣的数列 ( 组合数 + 卡特兰数）

bzoj1485 [HNOI2009]有趣的数列

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1485

题意：
我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；

(2)所有的奇数项满足 a1<a3<…<a2n−1 a 1 < a 3 < … < a 2 n − 1 ，所有的偶数项满足 a2<a4<…<a2n a 2 < a 4 < … < a 2 n ；

(3)任意相邻的两项 a2i−1与a2i(1≤i≤n) a 2 i − 1 与 a 2 i ( 1 ≤ i ≤ n ) 满足奇数项小于偶数项，即： a2i−1<a2i a 2 i − 1 < a 2 i 。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

数据范围
n≤1000000，P≤1000000000。

题解：
首先，n的答案就是 Catalan(2n，n)，为什么？

观察数，假如我们从1~2n依次填入，可以发现：
1只能在第1个。
2可以在第2*1个或第2*1+1个。如果它再往后填，不能存在小于2但大于1的数。
3可以在第一个没填的奇数项或偶数项。如果它再往后填，不能存在小于3但大于1的且不为2的数，或小于3但大于2的数。
…
每个数只能在第一个没填的奇数项或偶数项。

那么不合法的情况是什么呢？
因为我们是依次填的，又只能填在第一个没填的奇数项或偶数项，因此条件2绝对成立，只需考虑条件3。
由于是依次填的，只会出现 i 比不该大于 i 的数大了。
那就是奇数项比偶数项大了。

x位置比x+1位置大，因为 x 只能填在第一个没填的奇数项或偶数项，
x之前的所有奇数项都填过了，x+1前的所有偶数项也都填过了，
即使现在不填在x位置，之后也会有比当前数更大的填在x位置，那么没填x之前，就已经注定不会合法了。
那么没填上x时，填了的 奇数项个数<偶数项个数，
当且仅当 填了的 奇数项个数<偶数项个数 时不合法。
那么可以转化成一个括号匹配问题，填奇数项是左括号，填偶数项是右括号，
无论何时左括号>=右括号。

就是Catalan的经典应用了。

然后是一个求组合数。
因为P不一定是质数，不能处理逆元之类。
这里写了个O(n)求组合数，具体做法在这里：

筛出1-n中所有质数，筛出每个数最小的质因子p[i]。
开一个cnt[n]的数组。
for(i=n~1) 对于每个i（质数跳过），拆成两个数p[i]和i/p[i]，cnt[p[i]]和cnt[i/p[i]]都加上cnt[i]，cnt[i]赋为0。
这样之后cnt[p]存的就是质因子p的指数。
因为n以内的质数有 n/logn 个,for每个指数，快速幂是log的，因此最终求C(n,m)的复杂度是O(n)的。

代码：

#include
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2000005;
const int M=1000000005; 
int n,mod,cnt[N],pri[N],ptot=0,p[N];
bool is[N];
void shai()
{
    is[1]=1; p[1]=1;
    for(int i=2;i<=2e6;i++)
    {
        if(!is[i]) {pri[++ptot]=i; p[i]=i;}
        for(int j=1;j<=ptot;j++)
        {
            int pp=pri[j];
            LL x=1LL*pp*i;
            if(x>2e6) break;
            is[x]=1; p[x]=pp;
            if(i%pp==0) break;
        }
    }   
}
void add(int x,int val)
{
    cnt[x]+=val;
    if(is[x]&&x!=1) {cnt[p[x]]+=cnt[x]; cnt[x/p[x]]+=cnt[x]; cnt[x]=0;}
}
int modpow(int A,int B)
{
    int ans=1; int base=A;
    for(;B;B>>=1)
    {
        if(B&1) ans=(1LL*ans*base)%mod;
        base=(1LL*base*base)%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    shai();
    scanf("%d%d",&n,&mod); //ans=C(2n,n)/(n+1)=(2n*(2n-1)*...*(n+2))/n!
    for(int i=2*n;i>n+1;i--) add(i,1);
    for(int i=n;i>=1;i--) add(i,-1);
    for(int i=2*n;i>=1;i--) add(i,0);
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=ptot&&pri[i]<=2*n;i++)
    ans=(1LL*ans*modpow(pri[i],cnt[pri[i]]))%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}